已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线y=x+1交于AB两点,线段AB的中点为M,若OM的斜率KOM=—1/2求证:a=根号2 b:若AB的模=根号2,求椭圆的方程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2021/12/08 17:44:24

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线y=x+1交于AB两点,线段AB的中点为M,若OM的斜率KOM=—1/2
求证:a=根号2 b:若AB的模=根号2,求椭圆的方程

证明:设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)
AB中点为M(x0,y0).
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
相减得到:b^2(x1+x2)(x1-x2)+a^2(y1+y2)(y1-y20=0
由于M是AB的中点,所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
则2x0*b^2(x1-x2)+2y0*a^2(y1-y2)=0
则y1-y2/x1-x2=-(x0*b^2/y0*a^2)
直线AB的斜率为1.所以y1-y2/x1-x2=1
直线OM的斜率为-1/2,所以y0/x0=-1/2
整理得到:1=2b^2/a^2
a^2=2b^2
既a=根号2 b,所以证明成立.
第二问:告诉AB的模为根号2,且知道直线AB的斜率和a和b的关系,可以利用弦长公式,并代换a,只有1个未知数,求出即可

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