设n阶方阵A满足A平方=En,|A+En|不等于0,证明:A=En.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 04:27:49

设n阶方阵A满足A平方=En,|A+En|不等于0,证明:A=En.
设n阶方阵A满足A平方=En,|A+En|不等于0,证明:A=En.

设n阶方阵A满足A平方=En,|A+En|不等于0,证明:A=En.
证明:由A^2=En得
0=A^2-En=A^2-En^2=(A+En)(A-En)
因为|A+En|≠0,故A+En必有逆矩阵(A+En)^(-1),上式两边左乘(A+En)^(-1),便得
(A+En)^(-1)*0=0=(A+En)^(-1)*(A+En)(A-En)=En*(A-En)=A-En
即A-En=0,则A=En.

记I=En,I=A*A, (I+A)(I-A)=0。因为A+I行列式非0,所以A+I可逆。所以I-A=0,I=A

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