f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 03:26:23

f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n
f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n

f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n
令ak=[(n-k)/n]^n .k=n-1,...,3,2,1,0
--->ak = [1-k/n]^n = {(1+(-k)/n]^(n/-k)}^(-k)
--->n→∞时,lim(ak) = 1/e^k
--->n→∞时
lim[(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n]
=1+1/e+1/e²+...+1/e^k+...
=1/(1-1/e) = e/(e-1)
--->(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n<e/(e-1)

广一模的题啦 为啥不看看答案呢?...
证明 引理(也就是原题第一问) 对于任意 x不为0 有1+x显然 f'(x)=e^x-1 令f'(x)=0 得x=0 显然 x<0时 递减 >0递增 故f(x)>f(0)=1 (x不为0)
而1/n=1-(n-1)/n 2/n=1-(n-2)/n ... (n-1)/n=1-1/n
故1/n

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广一模的题啦 为啥不看看答案呢?...
证明 引理(也就是原题第一问) 对于任意 x不为0 有1+x显然 f'(x)=e^x-1 令f'(x)=0 得x=0 显然 x<0时 递减 >0递增 故f(x)>f(0)=1 (x不为0)
而1/n=1-(n-1)/n 2/n=1-(n-2)/n ... (n-1)/n=1-1/n
故1/n当n=1时上式显然成立 当n>1时
上式<1+(1/e)^(n-1)+(1/e)^(n-2)+....+(1/e)
=(1/e)^0+(1/e)^1+...+(1/e)^(n-1)
=[1-(1/e)^n]/(1-(1/e))
<1/(1-1/e)
=e/(e-1)
不等式得证

收起

f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n 已知f(x)=e^x+e^(-x),求证f(1)*f(2)*f(3)*f(4)…*f(n)>[e^(n+1)+2]^(n/2),n∈N* 已知函数f(x)=e^x-x 求证f(1/2)+f(1/3)+f(1/4)...>n+n/4(n+2) 已知函数f(x)=(1+lnx)/x (x大于等于1)求证:[(n+1)!]>(n+1)e^(n-2) n属于正整数 f(x)=e^x-kx,设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证F(1)F(2)……F(n)>[e^(n+1)+2]^(n/2).n为正整数F(1)F(2)……F(n)>[e^(n+1)+2]^(n/2).n为正整数网上偶遇解答如下:首先F(x)=e^x+e^-x则F(k)*F(n-k+1)=[e^k+e^-k]*[e^(n-k+1)+e^-(n-k+1)]=e^(n+1) + 已知函数f(x)=e^x-x,(1),证明,(1/n)^n+……+(n/n)^n 求助一道数学题因为只有10分所以只悬赏10分了已知f(x)=e^x-x(e为自然对数的底数)(1)f(x)的最小值(2)求证(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+……+{(n-1)/n}^n+(n/n)^n^是次方符号 已知函数f(x)=(x-1)/x,设an=f(n)(n∈N+),(1)求证:an 讨论函数f(x)=lim(n^x-n^x)/(n^x+n^x )e^-x的连续性 设f(x)=(x-2^n+1)ln(x-2^n+1)-x(n属于n+),求证f(x)>=3sn+/6sn-2 设f(x)=(x-2^n+1)ln(x-2^n+1)-x(n属于n+),求证f(x)>=3sn+/6sn-2 求n趋近于无穷大时 f(x)=lim (1/n)*ln(e^n+x^n) (x>0) f(x)=4^x/(1+4^x),求证f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)>n+1/2^(n+1)-1/2 n是自然数 已知函数f(x)=a/x+lnx-1(a是常数)讨论f(x)的单调区间;当a=1时,方程f(x)=m在x∈ [1/e ,e] 上有两解,求m的取值范围;(e≈2.71828);求证:ln乘n/n-1>1/n(n>1,且n∈N*) 【高中数学】已知函数f(x)=e^x-kx,x属于R,设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证:F(1)F(2)……F(n)>[e^(n+1)+2]^(n/2).n为正整数.感激不尽啊! 已知函数f(X)=x-1-Inx1)求函数f(X)的最小值 2)求证:当n属于N+时,e^(1+1/2+1/3+.+1/n)>n+1 任意实数m、n,f(m+n)=f(m)+f(n)-1,x>0时f(x)>1,求证:f(x)在R上为增函数 n阶求导f(x)=x^n/(1-x)