证明xe^x=1有且仅有一个正实根,如果我的范围取了【0,2】那还能证明仅有一个正实根吗?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/08/17 18:59:23

证明xe^x=1有且仅有一个正实根,如果我的范围取了【0,2】那还能证明仅有一个正实根吗?

令f(x)=xe^x-1
f(0)=-10
由零点定理,知
必有一根正根

f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x>0
所以
函数是单调的,即xe^x=1最多只有1个零点
所以
(0,2)内xe^x=1仅有一个正实根.

http://58.130.5.100/

设f(x)=x^ex-1 f(0)=-1<0 f(2)=2e^2-1>0 所以f(x)在[0,2] 上必有根
又因为f′(x)=e^x(x+1)>0 知f(x)单增,所以只有一个