在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧做正三角形ABE于正三角形ACD.DE与AB交于F.求证:EF=FD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/19 00:12:46

在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧做正三角形ABE于正三角形ACD.DE与AB交于F.求证:EF=FD
在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧做正三角形ABE于正三角形ACD.DE与AB交于F.求证:EF=FD

在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧做正三角形ABE于正三角形ACD.DE与AB交于F.求证:EF=FD
证:作EG⊥AB交AB于点G
∵EG⊥AB
∴∠FGE=90°=∠BCA
∵等边△ABE
∴AB=AE
∴Rt△ABC≌Rt△EAG(HL)
∴AC=EG
∵等边△ACD
∴AC=AD=EG,∠CAD=60°
∵∠CAB=30°
∴∠DAF=90°=∠FGE
∵∠GFE=∠AFD,∠DAF=∠FGE,AD=EG
∴△EFG≌△DFA(AAS)
∴DF=EF

作EA延长线,过D作EA延长线垂线交于M
由题意知BA垂直于EA,所以DM平行BA
∠DAM=30°
设BC长度为1
则AB=AD=2,AC=AE=根号3
则AM=根号3
AM=AE
所以A为EM中点
所以F为DE中点。EF=FD