设f(x)在[0,pi/2]上连续,且单调增加,证明∫(0,pi/2)f(x)sinxdx≥2/pi∫(0,pi/2)f(x)dx

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 05:13:09

设f(x)在[0,pi/2]上连续,且单调增加,证明∫(0,pi/2)f(x)sinxdx≥2/pi∫(0,pi/2)f(x)dx
设f(x)在[0,pi/2]上连续,且单调增加,证明∫(0,pi/2)f(x)sinxdx≥2/pi∫(0,pi/2)f(x)dx

设f(x)在[0,pi/2]上连续,且单调增加,证明∫(0,pi/2)f(x)sinxdx≥2/pi∫(0,pi/2)f(x)dx
证明:令2/pi∫(0,pi/2)f(x)dx=f(c),其中0=0,打开化简记得结论.

在[0,π/2]上,0≦sinx≦1,sinx连续且单调增加,所以必有唯一的一点ξ∈(0,π/2),使得sinξ=2/π①;在[0,ξ],sinx≦sinξ,即sinx≦2/π,即sinx-2/π≦0②;另外在[0,ξ],f(x)≦f(ξ)③;由②、③得f(x)(sinx-2/π)≧f(ξ)(sinx-2/π)④;在[ξ,π/2]上,显然有sinx-sinξ≧0,即sinx-2/π≧0,f(x)≧...

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在[0,π/2]上,0≦sinx≦1,sinx连续且单调增加,所以必有唯一的一点ξ∈(0,π/2),使得sinξ=2/π①;在[0,ξ],sinx≦sinξ,即sinx≦2/π,即sinx-2/π≦0②;另外在[0,ξ],f(x)≦f(ξ)③;由②、③得f(x)(sinx-2/π)≧f(ξ)(sinx-2/π)④;在[ξ,π/2]上,显然有sinx-sinξ≧0,即sinx-2/π≧0,f(x)≧f(ξ),所以f(x)(sinx-2/π)≧f(ξ)(sinx-2/π)⑤;由④、⑤可知,在[0,π/2]上,恒有f(x)(sinx-2/π)≧f(ξ)(sinx-2/π),所以∫(0→π/2)f(x)(sinx-2/π)dx≧∫(0→π/2)f(ξ)(sinx-2/π)dx⑥,在⑥式中,∫(0→π/2)f(ξ)(sinx-2/π)dx=f(ξ)∫(0→π/2)(sinx-2/π)dx=f(ξ)×0=0,所以由⑥得∫(0→π/2)f(x)(sinx-2/π)dx≧0,即∫(0→π/2)f(x)sinxdx≧(2/π)∫(0→π/2)f(x)dx(证毕)。

收起

设f(x)在[0,pi/2]上连续,且单调增加,证明∫(0,pi/2)f(x)sinxdx≥2/pi∫(0,pi/2)f(x)dx 设函数f在[0,2pi]上连续(pi为圆周率),且f(0)=f(2pi),证明:存在a∈[0,pi],使f(a)=f(a+pi).急,求助! f(x)在[0,pi]上连续,且f(x)sinkx,f(x)coskx在[0,pi]上的积分都是0,1 『紧急』 设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:()(x)=§(a,x)f(t)dt+2§(x,b)f(t)dt在[a,b]上单...『紧急』 设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:()(x)=§(a,x)f(t)dt+2§(x,b)f(t)dt在[a,b]上单调减少;(2)在(a,b) 高数:设f(x)在[0,1]上有连续,在(0,1)内可导设f(x)在[0,1]上有连续,在(0,1)内可导,且∫(上2/PI下0)e^f(x)arctanxdxdx=1/2,f(1)=0,证明:存在ζ∈[0,1],使(1+ζ^2)f'(ζ)arctanζ=-1提示:设F(x)=e^f(x)arctanx,应用罗尔 设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且|f''(x)| 设f(x)在[0,1]上连续,且f(x) 高等数学问题:设f(x)在[0,1]上连续,且f(x) 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 已知f(x)连续可导,证明g((x,y),(a,b))亦连续.已知f(x)在(-pi/2,pi/2)上连续可导,定义g(x,y)在集合E:=(-pi/2,pi/2)*(-pi/2,pi/2),g(x,y)=[f(x)-f(y)]/[sin(x)-sin(y)],证明g(x,y)在E上连续. 设f(x)在区间[0,1]上连续,且f0)f(1) 设f(x)在[0,1]上连续,且f(t) 设f(x)在[a,b]上连续,且严格单增,证明:(a+b)∫(上b下a)f(x)dx 设f(x)在[0,∞)上连续,且当x>0时,0 设f(x)在区间[0,+∞)上连续,且当x>0时,0 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)上可微,且f(0)*f(2)>0,f(0)*f(1)