用数学归纳法证明不等式 2^n

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/17 05:10:07

用数学归纳法证明不等式 2^n
用数学归纳法证明不等式 2^n

用数学归纳法证明不等式 2^n
原式等价于n

n=1时显然成立
当n>1时
假设2^k<(3^k)/k 成立
则2^(k+1)<2(3^k)/k
证2(3^k)/k<[3^(k+1)]/(k+1) 成立即可整理得
2/3因为k>1,不等式成立,证毕

n=1 、2、3显然都成立
n=k 2^k<3^k/k
n=k+1 2^(k+1)-[3^(k+1)]/(k+1)<2*3^k/k-[3^(k+1)]/(k+1)=[2*3^k*(k+1)-3^(k+1)*k]/k*(k+1)
<[2*3^k*k-3^(k+1)*k]/k*(k+1)=[2*3^k-3^(k+1)]/(k+1)<0
所以 2^(k+1)<[3^(k+1)]/(k+1)
所以2^n<(3^n)/n成立