如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 13:23:52

如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?
如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?

如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?
设函数f(n)=3^n-n^2
n=1 f(n)=3-1=2>0 成立
设n=k时 f(n)>0 成立 即是3^k-k^2>0 3^k>k^2
当n=k+1 f(n)=3^(k+1)-(k+1)^2=3 X3^k -[(k+1)/k]^2 x n^2
明显的 (k+1)/k=1+1/k 当n>1(自然数,且1已证) (k+1)/k0
即是f(k+1)>0
根据数学归纳法,可知,当n为任何自然数,f(n)>0 即3^n-n^2>0
3^n>n^2
(其实应该可以直接用不等式来做,不过方法差不多)

当n=1.
当n=2
假设当n=n时, 不等式成立
n+1 时, 3^n =(1+2)^n 用二次项定理展开,与n^2相比较

设y=3^n-n^2,由题意得即证明y〉0
(1)当n=1时,y=3-2=1〉0恒成立
(2)设当n〉1且n为自然数时y〉0成立2乘以(3^n)-2n-
(3)当k=n+1时,y=3^(n+1)-(n+1)^2=3乘以(3^n)-n^2-2n-1,由(2)得3^n-n^2〉0恒成立,则y=2乘以(3^n)-2n-1+3^n-n^2
n〉1且n为自然数,所以你最小为2...

全部展开

设y=3^n-n^2,由题意得即证明y〉0
(1)当n=1时,y=3-2=1〉0恒成立
(2)设当n〉1且n为自然数时y〉0成立2乘以(3^n)-2n-
(3)当k=n+1时,y=3^(n+1)-(n+1)^2=3乘以(3^n)-n^2-2n-1,由(2)得3^n-n^2〉0恒成立,则y=2乘以(3^n)-2n-1+3^n-n^2
n〉1且n为自然数,所以你最小为2,2乘以(3^n)-2n-1 的最小值是13,3^n-n^2〉0,所以当k
=n+1时,n〉1且n为自然数时y〉0恒成立。
终上所述3^n〉n^2 对一切自然数皆成立

收起

【1】①n=1时,3>1,②n=2时,9>4,③n=3时,27>9.【2】假设当n=k时(k≥3),有3^k>k².则3^k>k²>2k.即3^k>2k.显然有3^k>1.∴3^k>k².且3^k>2k.且3^k>1.三式相加可得:3^(k+1)>(k+1)².即当n=k+1时,仍有3^n>n².∴.........