若正实数x ,y满足2x+y+6=xy.则xy的最小值.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 19:52:53

若正实数x ,y满足2x+y+6=xy.则xy的最小值.
若正实数x ,y满足2x+y+6=xy.则xy的最小值.

若正实数x ,y满足2x+y+6=xy.则xy的最小值.
2x+y+6≥6+2√2xy
xy≥6+2√2xy
(√xy-√2)^2≥8
√xy-√2≥2√2或√xy-√2≤-2√2(不可能)
所以xy最小值是(3√2)^2=18
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运用基本不等式 a+b≥2√(ab),令a=2x,b=y,
则有 xy=2x+y+6≥2√(2xy)+6,令xy=t² ,可得 t² -(2√2) t-6≥0
即得到 (t-3√2)(t+√2)≥0可解得:t≤√2,t≥32√.
又注意到t>0,故解 t≥3√2,
所以xy≥18.
故答案应为18.
“√”代表的是根号;“^”代表的是次方.