2008全国高中数学联赛重庆的1.2.3等奖分数线是多少啊

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2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分；
2．如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次．
一、（本题满分50分）
如题一图,给定凸四边形 ,,是平面上的动点,令 ．
（Ⅰ）求证：当 达到最小值时,四点共圆；
（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点,满足：,,,又 是 的切线,,求 的最小值．
[解法一] （Ⅰ）如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 ,有
．
因此
．
因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号,因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时,
． …10分
又因 ,此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时,取最小值 ．
故当 达最小值时,四点共圆． …20分
（Ⅱ）记 ,则 ,由正弦定理有 ,从而 ,即 ,所以
,
整理得 ,…30分
解得 或 （舍去）,
故 ,．
由已知 = ,有 ,即 ,整理得 ,故 ,可得 ,…40分
从而 ,,为等腰直角三角形．因 ,则 ．
又 也是等腰直角三角形,故 ,,．
故 ． …50分
[解法二] （Ⅰ）如答一图2,连接 交 的外接圆 于 点（因为 在 外,故 在 上）．
过 分别作 的垂线,两两相交得 ,易知 在 内,从而在 内,记 之三内角分别为 ,则 ,又因 ,,得 ,同理有 ,,
所以 ∽ ． …10分
设 ,,,
则对平面上任意点 ,有
,
从而 ．
由 点的任意性,知 点是使 达最小值的点．
由点 在 上,故 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）,的最小值
,
记 ,则 ,由正弦定理有 ,从而 ,即 ,所以
,
整理得 ,…30分
解得 或 （舍去）,
故 ,．
由已知 = ,有 ,即 ,整理得 ,故 ,可得 ,…40分
所以 ,为等腰直角三角形,,,因为 ,点在 上,,所以 为矩形,,故 ,所以 ． …50分
[解法三] （Ⅰ）引进复平面,仍用 等代表 所对应的复数．
由三角形不等式,对于复数 ,有
,
当且仅当 与 （复向量）同向时取等号．
有 ,
所以
（1）
,
从而
． （2） …10分
（1）式取等号的条件是
复数 与
同向,故存在实数 ,使得
,
,
所以 ,
向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角,
从而 四点共圆．
（2）式取等号的条件显然为 共线且 在 上．
故当 达最小值时 点在 之外接圆上,四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
以下同解法一．
二、（本题满分50分）
设 是周期函数,和1是 的周期且 ．证明：
（Ⅰ）若 为有理数,则存在素数 ,使 是 的周期；
（Ⅱ）若 为无理数,则存在各项均为无理数的数列 满足 ,且每个 都是 的周期．
[证] （Ⅰ）若 是有理数,则存在正整数 使得 且 ,从而存在整数 ,使得
．
于是
是 的周期． …10分
又因 ,从而 ．设 是 的素因子,则 ,,从而
是 的周期． …20分
（Ⅱ）若 是无理数,令
,
则 ,且 是无理数,令
,
……
,
……． …30分
由数学归纳法易知 均为无理数且 ．又 ,故 ,即 ．因此 是递减数列． …40分
最后证：每个 是 的周期．事实上,因1和 是 的周期,故 亦是 的周期．假设 是 的周期,则 也是 的周期．由数学归纳法,已证得 均是 的周期． …50分
三、（本题满分50分）
设 ,．证明：当且仅当 时,存在数列 满足以下条件：
（ⅰ） ,；
（ⅱ） 存在；
（ⅲ） ,．
[证] 必要性：假设存在 满足（ⅰ）,（ⅱ）,（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为
,,
其中 ．
将上式从第1项加到第 项,并注意到 得
． …10分
由（ⅱ）可设 ,将上式取极限得
,
因此 ． …20分
充分性：假设 ．定义多项式函数如下：
,,
则 在[0,1]上是递增函数,且
,．
因此方程 在[0,1]内有唯一的根 ,且 ,即 ． …30分
下取数列 为 ,,则明显地 满足题设条件（ⅰ）,且
．
因 ,故 ,因此 ,即 的极限存在,满足（ⅱ）． …40分
最后验证 满足（ⅲ）,因 ,即 ,从而
．
综上,存在数列 满足（ⅰ）,（ⅱ）,（ⅲ）． …50分