关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及(A+2E)的逆矩阵”老师有同学这样做,我也看不出大错,A^2-E=A+E,左边平方差公式,得:(A+E)(A-E)=A+E,两边乘以(A+E)的逆,得A=2E,所

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 18:39:05

关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及(A+2E)的逆矩阵”老师有同学这样做,我也看不出大错,A^2-E=A+E,左边平方差公式,得:(A+E)(A-E)=A+E,两边乘以(A+E)的逆,得A=2E,所
关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及(A+2E)的逆矩阵”
老师有同学这样做,我也看不出大错,
A^2-E=A+E,左边平方差公式,
得:
(A+E)(A-E)=A+E,
两边乘以(A+E)的逆,得A=2E,
所以(A+E)的逆等于E/3
还有一种是:
由已知等式得
A(A-E) = 2E
所以 A[(1/2)(A-E)] = E
所以A可逆,且 A^-1 = (1/2) (A-E).

关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及(A+2E)的逆矩阵”老师有同学这样做,我也看不出大错,A^2-E=A+E,左边平方差公式,得:(A+E)(A-E)=A+E,两边乘以(A+E)的逆,得A=2E,所
第一种不对, 因为此时还不知道 A+E 是否可逆.

第二种是对的.
知识点: 若A,B是同阶方阵, 且 AB=E, 则A,B都可逆,并且 A^-1=B,B^-1=A.
由于 A[(1/2)(A-E)] = E
所以A可逆, 且 A^-1 = (1/2) (A-E).

同理, 由A^2-A-2E=0
则有 A(A+2E) -3(A+2E) + 4E = 0
所以 (A-3E)(A+2E) = -4E
所以 A+2E 可逆, 且 (A+2E)^-1 = (-1/4) (A-3E).