已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式.

已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式.
已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式.

已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式.
公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等.
类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项,再由前几项总结出规律,猜想出数列的一个通项公式,最后用数学归纳法证明．

类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时,取n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1),
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时,两边累加得通项an,此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时,令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子,即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1),且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时,两边连乘可求出an,此法称为“积商法”．



类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数),可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0),两边取常用对数,得lgan+1=klgan+lgq,令lgan=bn,则有bn+1=kbn+lgq,转化为类型三．

(2)“倒数法”转化为类型三．
递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0,pq≠0,pc≠qb)．
若b=0,得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0,所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p,转化为类型三．
若b≠0,设an+1+x=y(an+x)/qan+c,与已知递推式比较求得x、y,令bn=an+x,得bn+1=ybn/qan+c,转化为b=0的情况．


类型五
递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)
可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1),得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan,令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)•nan,则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
从而bn+1=qbn,因此数列｛bn｝是公比为q,首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列,进而可求得an．

总之,由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂,不可能一一论及,但只要我们抓住递推数列的递推关系,分析结构特征,善于合理变形,就能找到解决问题的有效途径．
类型一归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项,再由前几项总结出规律,猜想出数列的一个通项公式,最后用数学归纳法证明．
例1设数列｛an｝是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an=______________．(2000年全国数学卷第15题)
将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．
由于an＞0,故(n+1)an+1=nan,即an+1=n/(n+1)an．
因此a2=(1/2)a1=(1/2),a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之,证明过程略．

类型二“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时,取n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1),
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时,两边累加得通项an,此法称为“逐差法”．
例2已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),证明：an=(3n-1)/2．
(2003年全国数学卷文科第19题)
证明：由已知得an-an-1=3n-1,故
an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=3n-1/2．
所以得证．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时,令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子,即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1),且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时,两边连乘可求出an,此法称为“积商法”．
例3(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
另将(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n=1,2,3,…)化简,得(n+1)an+1=nan,即
an+1/an=n/(n+1)．
故an=an/an-1•an-1/an-2•an-2/an-3•…•a2/a1=n-1/n•n-2/n-1•n-3/n-2• … •1/2=1/n．

类型三构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数),可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．
例4(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)
另由an=3n-1+an-1得3•an/3n=an-1/3n-1+1．
令bn＝an/3n,则有
bn=1/3bn-1+1/3． (*)
设bn+x=1/3(bn-1+x),则bn=1/3bn-1+1/3x-x,与(*)式比较,得x=-1/2,所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)．因此数列｛bn-1/2｝是首项为b1-1=a1/3=-1/6,公比为1/3的等比数列,所以bn-1/2=-1/6•(1/3)n-1,即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．
例5数列｛an｝中,a1=1,an+1=4an+3n+1,求an．
令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y),则
an+1=4an+3nx+3y-x,与已知an+1=4an+3n+1比较,得

3x=3, 所以
x=1,
3y-x=1, y=(2/3)．
故数列｛an+n+(2/3)｝是首项为a1+1+(2/3)=(8/3),公比为4的等比数列,因此an+n+(2/3)=(8/3)•4n-1,即
an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)．
另由已知可得当n≥2时,an=4an-1+3(n-1)+1,与已知关系式作差,有an+1-an=4(an-an-1)+3,即an+1-an+1=4(an-an-1+1),因此数列｛an+1-an+1｝是首项为a2-a1+1=8-1+1=8,公比为4的等比数列,然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)．

类型四可转化为
类型三求通项
(1)“对数法”转化为
类型三．
递推式为an+1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0),两边取常用对数,得lgan+1=klgan+lgq,令lgan=bn,则有bn+1=kbn+lgq,转化为
类型三．
例6已知数列｛an｝中,a1=2,an+1=an2,求an．
由an+1=an2＞0,两边取对数得lgan+1=2lgan．令bn=lgan则bn+1=2bn．因此数列｛bn｝是首项为b1=lga1=lg2,公比为2的等比数列,故bn=2n-1lg2=lg22n-1,即an=22n-1．
(2)“倒数法”转化为
类型三．
递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0,pq≠0,pc≠qb)．
若b=0,得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0,所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p,转化为
类型三．
若b≠0,设an+1+x=y(an+x)/qan+c,与已知递推式比较求得x、y,令bn=an+x,得bn+1=ybn/qan+c,转化为b=0的情况．
例7在数列｛an｝中,已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3),求通项an．
设an+1+x=y(an+x)/an+3,则an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3,结合已知递推式得

y-x=3, 所以
x=1,
y-3=1, y=4,
则有an+1+1=4(an+1)/an+3,令bn=an+1,则bn+1=4bn/bn+2,求倒数得1/bn+1=1/2•1/bn+1/4,即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．
因此数列｛1/bn-1/2｝是首项为1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6,公比为1/2的等比数列．
故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1,从而可求得an．

类型五递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)
可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1),得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan,令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)•nan,则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
从而bn+1=qbn,因此数列｛bn｝是公比为q,首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列,进而可求得an．
例8(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
另将(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…),化简得(n+1)an+1=nan,令nan=bn,则bn+1=bn,所以数列｛bn｝是常数列,由于首项b1=1•a1=1,所以bn=1,即nan=1,故an=1/n．
总之,由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂,不可能一一论及,但只要我们抓住递推数列的递推关系,分析结构特征,善于合理变形,就能找到解决问题的有效途径．