设A为三阶实对称矩阵,满足A^2+2A=0,R(2E+A)=2求|2E+3A|

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 17:32:21

设A为三阶实对称矩阵,满足A^2+2A=0,R(2E+A)=2求|2E+3A|
设A为三阶实对称矩阵,满足A^2+2A=0,R(2E+A)=2求|2E+3A|

设A为三阶实对称矩阵,满足A^2+2A=0,R(2E+A)=2求|2E+3A|
设λ是A的特征值
则 λ^2+2λ 是 A^2+2A 的特征值
而 A^2=2A = 0
所以 λ^2+2λ = 0
所以 λ=0 或 λ = -2.
即A的特征值只能是 0 或 -2.
因为 r(2E+A) = 2
所以 A 的属于特征值-2的线性无关的特征向量有 3-2=1 个
所以 -2 是A的单重根
所以 A的特征值为 0,0,-2.
所以 2E+3A 的特征值为 2,2,-4
所以 |2E+3A| = 2*2*(-4) = -16.

这题就是A矩阵的特征值的应用，A的特征值为x，因为A^2的特征值是x*2，
那么x^2+2*x=0，那么x=0或-2，2E+A的秩是2，说明2+x中只有一个是0，有两个不等于0，
所以A的特征值应该就是一个为0，两个为-2，那么2E+3A的特征值就是2+3*x，也就是2，-4，-4
那么|2E+3A|=2*(-4)*（-4）=32...

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