求最大公约数用辗转相除法如何证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 20:29:46

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求最大公约数用辗转相除法如何证明
辗转相除法
定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
证明：
a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
假设d是a, b的一个公约数, 则有 d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r.
因此,d是(b, a mod b)的公约数.
加上d是(b,a mod b)的公约数,则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数.
因此,(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证.

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