万有引力做功公式证明中的疑问请问 取无穷远处势能为0 取星体质量M,距离星体r远处有一质量m物体,将此物体移远一小段距离,到r1远处,由于移动极小,可取平均引力F=GMm/rr1 则平均做功W1=F(r1-r)=

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/31 06:22:22

万有引力做功公式证明中的疑问请问 取无穷远处势能为0 取星体质量M,距离星体r远处有一质量m物体,将此物体移远一小段距离,到r1远处,由于移动极小,可取平均引力F=GMm/rr1 则平均做功W1=F(r1-r)=
万有引力做功公式证明中的疑问
请问 取无穷远处势能为0
取星体质量M,距离星体r远处有一质量m物体,将此物体移远一小段距离,到r1远处,由于移动极小,可取平均引力F=GMm/rr1
则平均做功W1=F(r1-r)=GMm/r-GMm/r1
类似的,再移远一小段距离,至r2处,
W2=GMm/r1-GMm/r2
W3=GMm/r2-GMm/r3
……
Wn=GMm/r(n-1)-GMm/rn
rn趋于无穷大
累加后W总=-GMm/r=0-Ep
所以导出Ep=-GMm/r
这里的平均引力F=GMm/rr1 是怎么得的?

万有引力做功公式证明中的疑问请问 取无穷远处势能为0 取星体质量M,距离星体r远处有一质量m物体,将此物体移远一小段距离,到r1远处,由于移动极小,可取平均引力F=GMm/rr1 则平均做功W1=F(r1-r)=
将此物体移远一小段距离,由距r到r1,
引力由F1=GMm/rr,减小到F2=GMm/r1r1
平均引力取F=√(F1*F2)=GMm/rr1 ,F在(F1,F2)之间
这样取的主要原因是为了下面的累加计算消去方便,
在其它一些近似计算中,也可能去每一小段的前端点,或者后端点或者中间值,
例如利用水平切割法计算梯形面积时,每一个小梯形形可以看成长方形,它的长可以去小梯形的中间值

是为了方便计算。
真正的平均值和此式是有出入的,但因为移动很小的距离,所以误差可忽略不计。
真正的平均值为(GMm/r 1^2-GMm /r^2)÷2+GMm /r ^2.
与GMm /r1r 是不挂等号的,不信你化化看。

如果要深究,则要用到微积分。
这里的平均引力的概念,不是算术平均,也不是几何平均值,而是做功的平均力,即F=W/S意义上的平均,因而其求法是:
由半径r到r1,引力(变力,所以要用微积分)做功大小为 定积分w=∫GMm/r2 dr,积分上下限为r1和r, 可得w=GMm(1/r-1/r1)
因而平均力F=w/s=GMm(1/r-1/r1) / (r1-r)=GMm/(r*r...

全部展开

如果要深究,则要用到微积分。
这里的平均引力的概念,不是算术平均,也不是几何平均值,而是做功的平均力,即F=W/S意义上的平均,因而其求法是:
由半径r到r1,引力(变力,所以要用微积分)做功大小为 定积分w=∫GMm/r2 dr,积分上下限为r1和r, 可得w=GMm(1/r-1/r1)
因而平均力F=w/s=GMm(1/r-1/r1) / (r1-r)=GMm/(r*r1)
实际上有此公式直接可以求远端的功: W=FS=GMm/(r*r1)*(r1-r),当r1->+∞时,可得w=GMm/r
所以这个功是个精确解,不需要象题那样离散求解。 并可利用此式,求得物体在地表具有动能等于此动能时的速度,即1/2mv^2=GMm/r,而地表加速度g=GM/r^2,代入得v=√(2gr)=11.2Km/s,此即地球的第二宇宙速度。

收起