已知F1,F2是双曲线C:x^2-y^2=1的左右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|*|PF2|是多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 01:29:08
已知F1,F2是双曲线C:x^2-y^2=1的左右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|*|PF2|是多少?
已知F1,F2是双曲线C:x^2-y^2=1的左右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|*|PF2|是多少?
已知F1,F2是双曲线C:x^2-y^2=1的左右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|*|PF2|是多少?
设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,
a=1,b=1,c=√2,
根据双曲线定义,
m-n=2a,
两边平方,
m^2+n^2-2mn=4,(1)
在△PF1F2中,根据余弦定理,(也可用向量解)
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cos60°.
4c^2=m^2+n^2-2mn*(1/2),
4c^2=m^2+n^2-mn,
m^2+n^2-mn=8,(2)
(2)式-(1)式,
mn=4,
∴|PF1|*|PF2|=4.
焦点F1(-√2,0),F2(√2,0),F1F2=2√2。设|PF1|>|PF2|,在PF1上截取PQ=PF2,因为∠F1PF2=60°,所以三角形PQF2是等边三角形。
过F2做PF1垂线,垂足M,设MQ=x,则F2M=√3x
根据双曲线定义PF1-PF2=2,因为PQ=PF2,所以F1Q=2
在直角三角形F1MF2中,F1F2=2√2,F2M=√3x,F1M=(2+x...
全部展开
焦点F1(-√2,0),F2(√2,0),F1F2=2√2。设|PF1|>|PF2|,在PF1上截取PQ=PF2,因为∠F1PF2=60°,所以三角形PQF2是等边三角形。
过F2做PF1垂线,垂足M,设MQ=x,则F2M=√3x
根据双曲线定义PF1-PF2=2,因为PQ=PF2,所以F1Q=2
在直角三角形F1MF2中,F1F2=2√2,F2M=√3x,F1M=(2+x)
解三角形F1MF2得
(√3x)^2+(2+x)^2=(2√2)^2
x=(√5-1)/2
则PF1=F1Q+QP=2+2*(√5-1)/2=√5+1
PF2=2*(√5-1)/2=√5-1
|PF1|*|PF2|=(√5+1)*(√5-1)=4
收起
△F1PF2是双曲线焦点三角形。
∴根据正弦定理:S△=1/2*|PF1|*|PF2|*sin60°=b²*cot(60°/2)
解得|PF1|*|PF2|=4