已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]×(x1+x2)≤0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 12:21:30

已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]×(x1+x2)≤0
已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有
[f(x1)+f(x2)]×(x1+x2)≤0

已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]×(x1+x2)≤0
当x1+x2=0时
显然[f(x1)+f(x2)]×(x1+x2)=0
当x1+x2>0时
即x1>-x2
因f(x)为减函数
则f(x1)又f(x)为奇函数
注意到x2∈[-1,1]时-x2∈[-1,1]
则f(-x2)=-f(x2)
于是有f(x1)+f(x2)<0
所以[f(x1)+f(x2)]*(x1+x2)<0
当x1+x2<0时
即x1<-x2
因f(x)为减函数
则f(x1)>f(-x2)
又f(x)为奇函数
注意到x2∈[-1,1]时-x2∈[-1,1]
则f(-x2)=-f(x2)
于是有f(x1)+f(x2)>0
所以[f(x1)+f(x2)]*(x1+x2)<0
综上知[f(x1)+f(x2)]×(x1+x2)≤0