作业帮如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m（m＞4）,点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合）,连接PD.（1）当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长；若不存在,说明理由；（2）当△APQ为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:00:42
如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m（m＞4）,点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合）,连接PD.（1）当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长；若不存在,说明理由；（2）当△APQ为
如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m（m＞4）,点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合）,连接PD.
（1）当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长；若不存在,说明理由；（2）当△APQ为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围；
（3）连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m（m＞4）,点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合）,连接PD.（1）当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长；若不存在,说明理由；（2）当△APQ为
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质.
专题：探究型.
分析：（1）假设存在一点P,使点Q与点C重合,再设AP的长为x,利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长,再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值；
（2）连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC,△APD∽△BQP,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式；
（3）连接DQ,把四边形PQCD化为两个直角三角形,再用m表示出PD及CQ的长,利用三角形的面积公式即可解答．
（1）存在点P．
假设存在一点P,使点Q与点C重合,如图1所示,设AP的长为x,则BP=10﹣x,
在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+（10﹣x）2,
在Rt△PCD中,CD2=DP2+PC2,即102=42+x2+42+（10﹣x）2,
解得x=2或8,
故当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合,此时AP=2或8；
（2）连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,
∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴ = ,即 = ①,
∵DP⊥PQ,
∴∠APD+∠BPQ=90°,
∵∠APD+∠ADP=90°,∠BPQ+∠PQB=90°,
∴∠APD=∠BQP,
∴△APD∽△BQP,
∴ = ,即 = ②,
①②联立得,BQ= ；
（3）连接DQ,
设AP=x,由（1）知在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+（m﹣x）2,
若△PQD为等腰三角形,则42+x2=42+（m﹣x）2,
解得x= ,
∵BQ= ,
∴CQ=4﹣ = ,
∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ,
即S= × × + × ×m= （m＞4）．
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图比较大
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