椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两个动点P.Q,角POQ=90度,求│OP│*│OQ│的极值急啊~~~~大家努力算哈~~~

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 14:30:52

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两个动点P.Q,角POQ=90度,求│OP│*│OQ│的极值急啊~~~~大家努力算哈~~~
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两个动点P.Q,角POQ=90度,求│OP│*│OQ│的极值
急啊~~~~大家努力算哈~~~

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两个动点P.Q,角POQ=90度,求│OP│*│OQ│的极值急啊~~~~大家努力算哈~~~
设P(acosα,bsinα),Q(acosβ,bsinβ),因为角POQ=90°,所以
向量OP*向量OQ=0,即(acosα,bsinα)*(acosβ,bsinβ)=0,即
a²cosαcosβ+b²sinαsinβ=0,求得
tanβ= -a²/(b²tanα)
(│OP│*│OQ│)²
=(a²cos²α+b²sin²α)*(a²cos²β+b²sin²β)
=[(a²cos²α+b²sin²α)/(cos²α+sin²α)]*[(a²cos²β+b²sin²β)/(cos²β+sin²β)]
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[(a²+b²tan²β)/(1+tan²β)]
将tanβ= -a²/(b²tanα)代入得
(│OP│*│OQ│)²
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[a²+b²a^4/(b^4tan²α)]/[1+a^4/(b^4tan²α)]
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[(a²b^4tan²α+a^4b²)/(a^4+b^4tan²α)]
=a²b²(a²+b²tan²α)²/[(1+tan²α)(a^4+b^4tan²α)]
=a²b²(a^4+2a²b²tan²α+b^4tan^4α)²/[a^4+(a^4+b^4)tan²α+b^4tan^4α]
=a²b²{1-[(a²-b²)²tan²α]/[a^4+(a^4+b^4)tan²α+b^4tan^4α]}
=a²b²{1-(a²-b²)²/[(a^4/tan²α)+b^4tan²α+(a^4+b^4)]}
令式中的分母(a^4/tan²α)+b^4tan²α+(a^4+b^4)=y,令tan²α=x,则
y=(a^4/x)+b^4x+(a^4+b^4),是一个勾函数,运用均值不等式得
y≥(a^4+b^4)+2√(a^4/x)*(b^4x)
=(a^4+b^4)+2√(a^4b^4)
=(a^4+b^4)+2a²b²
=(a²+b²)²
所以y∈[(a²+b²)²,+∞),从而
a²b²[1-(a²-b²)²/(a²+b²)²]≤(│OP│*│OQ│)²

楼主,你被黑 了,。 应该这样算,设 op=m,oq=n p(mcosa,msina)q(ncos(a+-90度),nsin(a+-90度))。 代入, 得1/m方+1/n方=1/a方+1/b方》2/mn
所以mn《 2a方b方/(a方+b方)