求曲线积分∫(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy,其中L是圆周y=根号下2x-x^2上由点(0,0)到(2,0)上一段

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 18:37:48

求曲线积分∫(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy,其中L是圆周y=根号下2x-x^2上由点(0,0)到(2,0)上一段
求曲线积分∫(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy,其中L是圆周y=根号下2x-x^2上由点(0,0)到(2,0)上一段

求曲线积分∫(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy,其中L是圆周y=根号下2x-x^2上由点(0,0)到(2,0)上一段
自行画图
补线段L1:y=0,x从2到0,这样L+L1构成封闭曲线,可以使用格林公式,注意本封闭曲线为顺时针旋转,与格林公式中的逆时针不符,所以用格林公式时要多加一个负号.
∮(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy
=∫∫(1+1)dxdy
=2∫∫1dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积,该区域是一个半圆,面积为:(1/2)πr²=π/2
=π (1)
下面将补的那条线段上的积分减出去.
∫(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy 积分曲线为L1:y=0,x从2到0
=∫[2--->0] x²dx
=(1/3)x³ [2--->0]
=-8/3 (2)
因此本题最终结果为:(1)-(2)
π+8/3

简单的方法是用格林公式:做线段将半圆补全,方向由(2,0)到(0,0)上一直线段。这样积分区间就构成了一个封闭空间,然后根据格林公式计算。最后计算单独的直线区间积分就可以了。符号太多 不好打字

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