求解两个微分方程1.（1+x^2）y"-(1/x)y'=02.y"+2(y')^2+1=0

求解两个微分方程1.（1+x^2）y"-(1/x)y'=02.y"+2(y')^2+1=0
求解两个微分方程
1.（1+x^2）y"-(1/x)y'=0
2.y"+2(y')^2+1=0

求解两个微分方程1.（1+x^2）y"-(1/x)y'=02.y"+2(y')^2+1=0
这两题的方法差不多
1.
设y'=p 则y''=dp/dx 代入原式化简得
dp/p=dx/[x(x^2+1)]
两边积分 右边的可以查积分表
Ln|p|+C1=(1/2)Ln[x^2(x^2+1)]+C2
化简得p=C3*x/(根号下x^2+1)
即dy=C3*dx*x/(根号下x^2+1)
两边积分y=C1*(根号下x^2+1)+C2
2
设y'=p 则y''=dp/dx 代入原式化简得
dp/(2p^2+1)=-dx
两边积分 不会的还是查积分表
[(根号2)/2] *arctan(根号2)p=-x+C
化简得 p=[(根号2)/2]tan[(-根号2)x+C]
即 dy=dx*[(根号2)/2]tan[(-根号2)x+C] (1)
设 t=(-根号2)x+C 则dx=-[(根号2)/2]dt
代入(1)
dy=-(1/2)(tant)*dt
查积分表积分得
y=Ln(根号下cost)+C
化简得
e^y=C*根号下cost
把t=(-根号2)x+C 代入得
e^y=C1*根号下cos[(-根号2)x+C2] 完

令u=y'

则y''=u'

先求解u

再解dy/dx=u(x) 

之前积分错了，已更正

具体积分就不写了，写下过程（而且没有初始条件）
1.
分离变量法：
方程变形为
x（1+x^2）=y'/y"
两边同时积分即可（，左边将变量化为x^2，右边先求出y'，在两边进行积分可得出y）
2.这种方程一般只能求出参数解，在这里要特别注意是关于哪个变量求导和积分
令y"+1=y'*t（t为参数）
代入则有y'=-0.5*t,y"=...

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具体积分就不写了，写下过程（而且没有初始条件）
1.
分离变量法：
方程变形为
x（1+x^2）=y'/y"
两边同时积分即可（，左边将变量化为x^2，右边先求出y'，在两边进行积分可得出y）
2.这种方程一般只能求出参数解，在这里要特别注意是关于哪个变量求导和积分
令y"+1=y'*t（t为参数）
代入则有y'=-0.5*t,y"=0.5t^2-1
注意还要求x关于t的参数方程
y"=dy'/dx
从而
dx=dy'/y"=(dy'/dt)*dt/y"=-0.5dt/（0.5t^2-1）
积分求得x的参数方程
y'=-0.5*t=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
这样
dy=y'*(dx/dt)*dt *********** (由于y'，x/dt关于参数t的表达式已经求出代入即可得到dy的结果，再两边对于t参数积分得到y的关于参数t表达式）

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