作业帮在四边形ABCD中,AB=根号3 ,BC=CD=AD=1,设三角形BCD,三角形BAD面积为S,T 求S^2 + T^2 最大值时∠BCD的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:08:57
在四边形ABCD中,AB=根号3 ,BC=CD=AD=1,设三角形BCD,三角形BAD面积为S,T 求S^2 + T^2 最大值时∠BCD的大小
在四边形ABCD中,AB=根号3 ,BC=CD=AD=1,设三角形BCD,三角形BAD面积为S,T 求S^2 + T^2 最大值时∠BCD的大小
在四边形ABCD中,AB=根号3 ,BC=CD=AD=1,设三角形BCD,三角形BAD面积为S,T 求S^2 + T^2 最大值时∠BCD的大小
储备知识：
1）余弦定理：三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边
则cosA=(b²+c²-a²)/2bc
或cosB=(a²+c²-b²)/2ac
或cosC=(a²+b²-c²)/2ab
2）计算三角形面积的一个重要公式：海伦公式
海伦公式：△ABC中,设其三边为a,b,c,则p=(a+b+c)/2（p也就是半周长）
那么S△ABC=√【p(p-a)(p-b)(p-c)】
这个公式经常是在已知三角形三边,且边长为整数时求面积用的.
如已知△ABC三边为,7,8,9,则p=(7+8+9)/2=12
S△ABC=√(12×5×4×3)=12√5
其实在已知三边,但边长为无理数时也可以使用,如边长为√2,√3,√6
把p=(a+b+c)/2代入S△ABC=√【p(p-a)(p-b)(p-c)】
得 S△ABC
=√【[(a+b+c)/2] [(b+c-a)/2] [(a+c-b)/2] [(a+b-c)/2]】
=√【[(a+b+c)(b+c-a)] [(a+c-b)(a+b-c)]】/4
=√【[(b+c)²-a²][a²-(b-c)²]】/4
=√【a²(b+c)²-a^4-(b+c)²(b-c)²+a²(b-c)²】/4
=√【-a^4-(b²-c²)²+a²[(b+c)²+(b-c)²]】/4
=√【-a^4-b^4+2b²c²-c^4+a²(2b²+2c²)】/4
=√【-a^4-b^4-c^4+2a²b²+2a²c²+2b²c²】/4
=√【-(a²)²-(b²)²-(c²)²+2a²b²+2a²c²+2b²c²】/4
因为 (√2)²=2,(√3)²=3,(√6)²=6,
所以S△ABC
=√【-2²-3²-6²+2×2×3+2×2×6+2×3×6】/4
=(√23)/4
（^n是n次方的意思,a^4表示a的四次方）
恩,扯了这么多,回到你的题目
答案：∠BCD=120°
连接BD,设BD=a
由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可知
△BAD中,√3-1＜a＜√3+1
△BCD中,1-1＜a＜1+1
即 √3-1＜a＜2
那么由上面的结论
△BAD中,BA²=3,AD²=1,BD²=a²
T=S△BAD=√【-3²-1²-(a²)²+2×3×1+2×3×a²+2×1×a²】/4
=√【-a^4+8a²-4】/4
△BCD中,BC²=1,CD²=1,BD²=a²
S=S△BAD=√【-1²-1²-(a²)²+2×1×1+2×1×a²+2×1×a²】/4
=√【-a^4+4a²】/4
所以S²+T²
=(-a^4+8a²-4)/16 + (-a^4+4a²)/16
=(-2a^4+12a²-4)/16
=(-a^4+6a²-2)/8
=-[(a^4-6a²+9-9)-2]/8
=【-(a²-3)²+7】/8
因为√3-1＜a＜2
易知当a²-3=0,a=√3时,S²+T²有最大值
此时在△BCD中用余弦定理：
cos∠BCD=(BC²+CD²-BD²)/(2•BC•CD)
=(1+1-3)/(2×1×1)
=-1/2
所以∠BCD=120°
【希望对你有帮助】