抛物线y²=2px(p＞0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上的两个动点,F为抛物线的焦点,AB的垂直平分线l与x轴交于点C,且AF绝对值+BF绝对值=8.（1）求p的值(2)求C点的坐标,（3）求直线l

抛物线y²=2px(p＞0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上的两个动点,F为抛物线的焦点,AB的垂直平分线l与x轴交于点C,且AF绝对值+BF绝对值=8.（1）求p的值(2)求C点的坐标,（3）求直线l
抛物线y²=2px(p＞0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上的两个动点,F为抛物线的焦点,AB的垂直平分线l与x轴交于点C,且AF绝对值+BF绝对值=8.
（1）求p的值(2)求C点的坐标,（3）求直线l的斜率k的取值范围

抛物线y²=2px(p＞0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上的两个动点,F为抛物线的焦点,AB的垂直平分线l与x轴交于点C,且AF绝对值+BF绝对值=8.（1）求p的值(2)求C点的坐标,（3）求直线l
（1）由
y2＝2px(p＞0)
y＝x+1
得：y2-2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根
即△=4p2-8p=4p（p-2）=0,得：p=2为所求；
（2）抛物线y2=4x的准线x=-1．
且|AF|+|BF|=8,由定义得x1+x2+2=8,则x1+x2=6
设C（m,0）,由C在AB的垂直平分线上,从而|AC|=|BC|
则(x1−m)2+y12＝(x2−m)2+y22
(x1−m)2−(x2−m)2＝−y12+y22
（x1+x2-2m）（x1-x2）=-4（x1-x2）
因为x1≠x2,所以x1+x2-2m=-4
又因为x1+x2=6,所以m=5,则点C的坐标为（5,0）；
（3）设AB的中点M（x0,y0）,有x0＝x1+x2/2＝3
设直线l方程y=k（x-5）过点M（3,y0）,得y0=-2k
又因为点M（3,y0）在抛物线y2=4x的内部,则y02＜12
得：4k2＜12,则k2＜3
又因为x1≠x2,则k≠0
故k的取值范围为(−根号3,0)∪(0,根号3)．

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