作业帮丨OA丨=2,丨OB丨=2,向量OC=xOA+yOB且x+y=1,∠AOB是钝角,f（t）=丨OA-tOB丨的最小值为根号3,则丨OC丨的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 12:19:56
丨OA丨=2,丨OB丨=2,向量OC=xOA+yOB且x+y=1,∠AOB是钝角,f（t）=丨OA-tOB丨的最小值为根号3,则丨OC丨的
丨OA丨=2,丨OB丨=2,向量OC=xOA+yOB且x+y=1,∠AOB是钝角,f（t）=丨OA-tOB丨的最小值为根号3,则丨OC丨的
丨OA丨=2,丨OB丨=2,向量OC=xOA+yOB且x+y=1,∠AOB是钝角,f（t）=丨OA-tOB丨的最小值为根号3,则丨OC丨的
OC= xOA+yOB
f(t) = |OA-tOB|
[f(t)]^2= |OA|^2+t^2|OB|^2-2tOA.OB
= 4t^2-8tcos∠AOB + 4
([f(t)]^2)' = 8t -8cos∠AOB =0
t = cos∠AOB
min f(t) at t= cos∠AOB
f(cos∠AOB) =√[4-4(cos∠AOB)^2] =√3
4-4(cos∠AOB)^2=3
cos∠AOB = 1/2 or -1/2 (rejected)
∠AOB= π/3
|OC|^2 = x^2|OA|^2 +y^2|OB|^2 + 2xy|OA||OB|cos∠AOB
= 4x^2 +4y^2+4xy
= 4(x+y)^2-4xy
= 4- 4xy
>= 4- 4((x+y)/2)^2
= 4- 1
=3
min |OC| = √3
∵f（t）=丨OA-tOB丨的最小值为√3
∴A点到OB的垂线长为√3
∴sin∠AOB=√3/2
又∵∠AOB是钝角
∴∠AOB=120°
由余弦定理|AB|²=|OA|²+|OB|²-2*|OA|*|OB|cos∠AOB
∴|AB|=√12=2√3
∵向量OC=xOA+yOB且x+y=1
∴C点在AB...
全部展开
∵f（t）=丨OA-tOB丨的最小值为√3
∴A点到OB的垂线长为√3
∴sin∠AOB=√3/2
又∵∠AOB是钝角
∴∠AOB=120°
由余弦定理|AB|²=|OA|²+|OB|²-2*|OA|*|OB|cos∠AOB
∴|AB|=√12=2√3
∵向量OC=xOA+yOB且x+y=1
∴C点在AB上
OC为AB垂线时，|OC|最小
此时由三角形面积相等|OC|*|AB|=|OB|*√3
得|OC|=1
收起
你把f（t）右边的那个用向量模的公式展开，把可以带入的数字带入，剩下t和cos∠AOB两个未知数，然后对根号内的t的式子求导，找到取最小值时的t的值，带入后求出cos∠AOB的值，再带入OC=xOA+yOB中求得丨OC丨的 值！