作业帮已知函数f(x)=x^2+a/x (x≠0,a∈R)若f(x)在区间【2,+∞）是增函数,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 07:37:45
已知函数f(x)=x^2+a/x (x≠0,a∈R)若f(x)在区间【2,+∞）是增函数,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=x^2+a/x (x≠0,a∈R)
若f(x)在区间【2,+∞）是增函数,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=x^2+a/x (x≠0,a∈R)若f(x)在区间【2,+∞）是增函数,求实数a的取值范围.
先求导数f`(x)= 2x + (-a/x^2)
由于2x是个增函数,在[2,+∞) 2x>4
所以先考虑(-a/x^2)
讨论a,
当a=0,显然导数大于0,
当a0的时候
此时(-a/x^2)是单调增函数,但是其上界为0,最小值为(-a/4)
所以只需令f`（2）=4+(-a/4)大于等于零即可满足题目的条件
解出a≤16
所以
a的取值范围是（-∞,16]
f'(x)=2x-a/x²
x>=2是增函数则f'(x)>0恒成立
2x>a/x²
x²>0
x³>a/2
x>=2,,x³>=8
则只要a/2<8即恒成立
a<16
这是双钩函数，有个基本公式
即f(x)=x²+a/x
1、函数是奇函数
证明：
首先函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称
f(-x)=-x-a/x=-(x²+a/x)=-f(x)
所以函数是奇函数
2、
若a＞0，
则函数f(x)在（-∞，-√a]和(√a，+∞）两个区间上分别单调递增，在[...
全部展开
这是双钩函数，有个基本公式
即f(x)=x²+a/x
1、函数是奇函数
证明：
首先函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称
f(-x)=-x-a/x=-(x²+a/x)=-f(x)
所以函数是奇函数
2、
若a＞0，
则函数f(x)在（-∞，-√a]和(√a，+∞）两个区间上分别单调递增，在[-√a,0)和[√a，0）两个区间上分别单调递减；
若a＜0
则函数f(x)在（-∞，-√-a]和[√-a，+∞）两个区间上分别单调递增，在(-√-a,0)和(0，√-a）两个区间上分别单调递减
根据上述结论，√|a|=2，a=±4
收起
求导，f(x)的导数是(2x的三次方-a)/x的平方
因为f(x)在【2，正无穷）是增函数
所以f(x)的导数在x=2时大于等于0
代入，解得a小于等于16