∫ √（2-x^2）^3dx 怎么积分求解.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 15:51:47

∫ √（2-x^2）^3dx 怎么积分求解.
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∫ √（2-x^2）^3dx 怎么积分求解.
令x=√2sinβ,dx=√2cosβdβ
(2-x²)^(3/2)=(2cos²β)^(3/2)=2√2cos³β
cosβ=[(2-x²)^(3/2)/(2√2)]^(1/3)=√(2-x²)/√2
∴∫(2-x²)^(3/2) dx
=4∫cos⁴β dβ
=4∫(cos²β)² dβ
=∫(1+cos2β)² dβ
=∫dβ+2∫cos2βdβ+∫cos²2βdβ
=β+sin2β+(1/2)∫(1+cos4β)dβ
=β+sin2β+(1/2)β+(1/8)sin4β+C
=(3/2)β+2sinβcosβ+(1/4)sin2βcos2β+C
=(3/2)arcsin(x/√2)+2(x/√2)[√(2-x²)/√2]+(1/2)(x√2)[√(2-x²)/√2][(2-x²)/2-x²/2]+C
=(3/2)arcsin(x/√2)-(x/4)(x²-5)√(2-x²)+C

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