二阶常系数微分方程通解问题形如y''+Ay'+y=0 的形式的微分方程. 课本上教的方法是先求特征方程的根.关于这种方法我有如下疑问：这种方法是不是因为所有函数中 只有 y=e^x 的积分

二阶常系数微分方程通解问题形如y''+Ay'+y=0 的形式的微分方程. 课本上教的方法是先求特征方程的根.关于这种方法我有如下疑问：这种方法是不是因为所有函数中 只有 y=e^x 的积分
二阶常系数微分方程通解问题

形如y''+Ay'+y=0 的形式的微分方程. 课本上教的方法是先求特征方程的根.关于这种方法我有如下疑问：

这种方法是不是因为所有函数中 只有 y=e^x 的积分或者微分都是它本身

为什么其通解是由e^x构成的

我说错了 还有 y=sinx, y=cosx 其微分积分是循环出现的 每四次回归一次?
那为什么特征方程出现共轭复根的时候 通解是由sinx cosx 构成的?
如何证明解的唯一性?
因为我不理解为什么这种形式的微分方程解的形式是固定的. 因为函数有无限多个,难道别的任何形式的函数都无法满足这种形式的微分方程吗?

二阶常系数微分方程通解问题形如y''+Ay'+y=0 的形式的微分方程. 课本上教的方法是先求特征方程的根.关于这种方法我有如下疑问：这种方法是不是因为所有函数中 只有 y=e^x 的积分
形如y''+Ay'+y=0 的形式的微分方程.课本上教的方法是先求特征方程的根.这种方法并不是因为所有函数中只有 y=e^x 的积分或者微分都是它本身,而是因为一阶方程y'+Ay=0有通解y=c*e^(-A*x).所以我们猜测该方程也有形式为y=e^(λx)的解,代入微分方程中得到(λ^2+Aλ+1)e^(λx)=0,而e^(λx)>0,所以只可能是特征方程λ^2+Aλ+1=0,该方程的解为λ1和λ2,可得微分方程的通解y=c1*e^(λ1*x)+c2*e^(λ2*x).当特征方程λ^2+Aλ+1=0的解是复数时,我们利用欧拉公式e^(i*θ)=cosθ+i*sinθ,可以将通解写成y=e^(α*x)*(c1*cos(β*x)+c2*sin(β*x))的形式.至于解的唯一性,需要通过初始条件来确定.