作业帮已知圆C经过点（－2,3）,圆心C在直线y＝－1/2x上,圆心的坐标为整数,被直线x＋y＋3＝0截得的弦长为2倍的根号2 求圆C的方程.若过圆内点M（－1,根号2＋1）的两条弦AE,BD互相垂直,求AE＋BD的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 04:23:55
已知圆C经过点（－2,3）,圆心C在直线y＝－1/2x上,圆心的坐标为整数,被直线x＋y＋3＝0截得的弦长为2倍的根号2 求圆C的方程.若过圆内点M（－1,根号2＋1）的两条弦AE,BD互相垂直,求AE＋BD的最大值
已知圆C经过点（－2,3）,圆心C在直线y＝－1/2x上,圆心的坐标为整数,被直线x＋y＋3＝0截得的弦长为2倍的根号2 求圆C的方程.若过圆内点M（－1,根号2＋1）的两条弦AE,BD互相垂直,求AE＋BD的最大值 打出来不容易啊,
已知圆C经过点（－2,3）,圆心C在直线y＝－1/2x上,圆心的坐标为整数,被直线x＋y＋3＝0截得的弦长为2倍的根号2 求圆C的方程.若过圆内点M（－1,根号2＋1）的两条弦AE,BD互相垂直,求AE＋BD的最大值
第一个问题：
∵⊙C的圆心在直线y＝－x/2上,∴可设圆心坐标为（m,－m/2）.
∵⊙C过点（－2,3）,∴⊙C的半径＝√［（m＋2）^2＋（－m/2－3）^2］.
∴⊙C的方程可写成：（x－m）^2＋（y＋m/2）^2＝（m＋2）^2＋（－m/2－3）^2.
联立：x＋y＋3＝0、（x－m）^2＋（y＋m/2）^2＝（m＋2）^2＋（－m/2－3）^2,消去y,
得：（x－m）^2＋（－x－3＋m/2）^2＝（m＋2）^2＋（－m/2－3）^2,
∴x^2－2mx＋m^2＋x^2＋9＋m^2/4＋6x－mx－3m＝m^2＋4m＋4＋m^2/4＋3m＋9,
∴2x^2＋（6－3m）x－10m－4＝0.
令直线x＋y＋3＝0截⊙C所得的弦为FG.
∵F、G都在直线x＋y＋3＝0上,即在y＝－x－3上,
∴可分别设F、G的坐标为（p,－p－3）、（q,－q－3）.
显然,p、q是方程2x^2＋（6－3m）x－10m－4＝0的两根,∴由韦达定理,有：
p＋q＝（3m－6）/2、 pq＝－5m－2.
依题意,有：｜FG｜＝2√2,∴√［（p－q）^2＋（－p－3＋q＋3）^2］＝2√2,
∴√［（p＋q）^2－4pq］＝2,∴（p＋q）^2－4pq＝4,
∴（3m－6）^2/4－4（－5m－2）＝4,∴（3m－6）^2＋16（5m＋2）＝16,
∴9m^2－36m＋36＋80m＋32＝16,∴9m^2＋44m＋52＝0,
∴（9m＋26）（m＋2）＝0.
∵m是整数,∴m＝－2,∴m/2＝1,
∴（m＋2）^2＋（－m/2－3）^2＝（－1－3）^2＝16.
∴满足条件的⊙C的方程是（x＋2）^2＋（y＋1）^2＝16.
第二个问题：
要使AE＋BD有最大值,就需要AE、BD中有一者是直径. 下面证明这一事实：
不失一般性,设AE为直径.
∵在同一圆中,弦心距小,弦就大,
∴要使AE＋BD最大,就需要点C到AE、BD的距离之和最小.
∵AE⊥BD,AE是直径,又M是BD的中点,∴AM⊥BD.
∴当AE为直径时,点C到AE、BD的距离之和＝｜CM｜.
过M任作两条非直径的垂直弦JK、PQ.再过C作CH⊥JK交JK于H、作CR⊥PQ交PQ于R.
∵CH⊥MH、CR⊥MR、MH⊥MR,∴CHMR是矩形,∴｜CR｜＝｜MH｜.
在△CHM中,显然有：｜CH｜＋｜MH｜＞｜CM｜,∴｜CH｜＋｜CR｜＞｜CM｜.
∴只有当AE、BD有一者为直径时,两弦心距之和才是最小的.
即：当AE＋BD取得最大值时,AE、BD有一者是直径.
不失一般性,设AE为直径,则：
｜CM｜^2＝（－2＋1）^2＋（－1－√2－1）^2＝1＋4＋4√2＋2＝7＋4√2.
显然有：｜CB｜＝4.
由勾股定理,有：｜BM｜^2＝｜CB｜^2－｜CM｜^2＝16－7－4√2＝9－4√2＝（2√2－1）^2.
∴｜BM｜＝2√2－1,∴｜BD｜＝2｜BM｜＝4√2－2.
∴AE＋BD＝8＋4√2－2＝6＋4√2.
即：AE＋BD的最大值是：6＋4√2.