🔒若函数f(x)=x^3/3-x^2+ax-a的图像与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围

🔒若函数f(x)=x^3/3-x^2+ax-a的图像与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围
🔒若函数f(x)=x^3/3-x^2+ax-a的图像与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围

🔒若函数f(x)=x^3/3-x^2+ax-a的图像与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围
∵f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a
∴ f'(x)=x²-2x+a
① △=4-4a≤0,即 a≥1
此时,f'(x)恒非负,
∴ f(x)是增函数,
满足 f(x)的图像与x轴有且只有一个交点
② △=4-4a>0,即 a

上图吧

说明：此题的数据安排有问题，用初等方法很难解②中的两个不等式！

f'(x)=x^2-2x+a
要使得f(x)的图像与x轴有且只有一个交点，可以分为三种情况
i) 无极值 ii) 极小值大于0 iii) 极大值小于0 下面分这三种情况求a的范围
i) f(x）无极值，则f(x)单调增加，即 f'(x)≥0恒成立， 其判别式=4-4a≤0 解得a≥1
ii) 极小值大于0 设f'(x)=0 有俩根 x1,x2, 则 x1<...

全部展开

f'(x)=x^2-2x+a
要使得f(x)的图像与x轴有且只有一个交点，可以分为三种情况
i) 无极值 ii) 极小值大于0 iii) 极大值小于0 下面分这三种情况求a的范围
i) f(x）无极值，则f(x)单调增加，即 f'(x)≥0恒成立， 其判别式=4-4a≤0 解得a≥1
ii) 极小值大于0 设f'(x)=0 有俩根 x1,x2, 则 x1<1且 f(x2)0, 所以对应的 a 为∅
iii) 极大值小于0 由于 x1=1-√(1-a) (*) 及 x1^2-2x1+a=0
故有 x1^2=2x1-a x1^3=2x1^2-ax1 将这俩式子代入f(x1)的表达式中替换x1^3 及x1^2 得到
f(x1)=(2x1^2-ax1)/3-(2x1-a)+ax1-a=(2/3)x1(x1+a-3) 由（*）式用1-√(1-a)替换 x1 并化简得
f(x1)=（2/3)[-1+(√(1-a))^3]<0 即(√(1-a))^3<1 解得 a>0 又因为判别式＞0 即a<1 联立得 0综合以上三种情况得 a的取值范围（0，+∞）

收起