作业帮椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:57:18
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′| ∴|AF|+|BF|=2a ……①
O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα ……②
|BF|=2ccosα ……③
②③代入① 2csinα+2ccosα=2a
∴c/a=1/(sinα+cosη)
即e=1/(sinα+cosα)=1/√2sin(α+π/4)
∵π/3
直角三角形ABF斜边中线即OF，故
AO=BO=OF=c
∠AOF=2α
有椭圆第二定义：
AF=e*2csinα=a2/c - ccos2α
下面自己算吧~~~~~
上面解法比我的简单啦，你用他的了，呵呵
本少是一类本科，当年数学还是挺牛的，可是看了楼主的问题，我特想跳楼。
由题意可以假设A点坐标（acosθ，bsinθ），则B点坐标为（-acosθ，-bsinθ）
C点坐标（c,0）
当然a²-b²=c²-----------------------------------------------①
因为AF⊥BF，可以根据向量知识得出：c²-a²cos²θ-b²sin...
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由题意可以假设A点坐标（acosθ，bsinθ），则B点坐标为（-acosθ，-bsinθ）
C点坐标（c,0）
当然a²-b²=c²-----------------------------------------------①
因为AF⊥BF，可以根据向量知识得出：c²-a²cos²θ-b²sin²θ=0
整理得到（a²-c²）/（a²-b²）=sin²θ
继续整理得到：e²=1/(1+sin²θ)-------------------------------②
另外，很容易得出Rt△ABF斜边中线为OF，所以得到
BF=2c*cosα
又因为通过向量BF可以得到BF=√[（acosθ+c）²+b²sin²θ]--------③
还有α∈（π/12,π/4],所以得到cosα∈[√2/2,(√6+√2)/4)-------④
由①②③④联立可以知道：
e的范围……
收起