在RT△ABC中,∠BAC=90º,A（0,2√2）,B(0,－2√2),S△ABC=2√2/3,动点P的轨迹为曲线E,曲线E经过C且满足绝对值PA加绝对值PB为常数.（1）求曲线E的方程（2）试问是否存在直线l,使l与曲线E交于不同的

在RT△ABC中,∠BAC=90º,A（0,2√2）,B(0,－2√2),S△ABC=2√2/3,动点P的轨迹为曲线E,曲线E经过C且满足绝对值PA加绝对值PB为常数.（1）求曲线E的方程（2）试问是否存在直线l,使l与曲线E交于不同的
在RT△ABC中,∠BAC=90º,A（0,2√2）,B(0,－2√2),S△ABC=2√2/3,
动点P的轨迹为曲线E,曲线E经过C且满足绝对值PA加绝对值PB为常数.（1）求曲线E的方程（2）试问是否存在直线l,使l与曲线E交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=－1/2平分,若存在求l的斜率,不存在,说明为什么

在RT△ABC中,∠BAC=90º,A（0,2√2）,B(0,－2√2),S△ABC=2√2/3,动点P的轨迹为曲线E,曲线E经过C且满足绝对值PA加绝对值PB为常数.（1）求曲线E的方程（2）试问是否存在直线l,使l与曲线E交于不同的
（1）求曲线E的方程 
如图 
已知△ABC为直角三角形,且AB=4√2,∠BAC=90°,S△ABC=2√2/3 
而,S△ABC=(1/2)*AB*AC 
即,(1/2)*4√2*AC=2√2/3 
所以,AC=1/3 
则点C(±1/3,2√2) 
已知曲线E过C点,且满足|PA|+|PB|为定值 
那么,根据椭圆的定义知道,曲线E是以A、B为焦点,且过点C的曲线 
因为点A、B在y轴上,即焦点在y轴上 
所以设曲线E为：y^2/a^2+x^2/b^2=1（a＞b＞0） 
其中c=AB/2=2√2 
则：a^2=b^2+c^2=b^2+8………………………………………………（1） 
又,E经过点C(±1/3,2√2) 
所以：8/a^2+(1/9)/b^2=1……………………………………………（2） 
联立(1)(2)解得：a^2=9,b^2=1 
所以,曲线E的方程为：x^2+(y^2/9)=1 
（2）
很显然,由椭圆的对称性知,直线L的斜率不可能为零（此时直线平行于x轴,那么它与椭圆的两个交点M、N就关于y轴对称）；直线L的斜率也一定存在（若不存在,此时直线与y轴平行,那么它与椭圆的两个交点M、N就关于x轴对称.当然,如果认为直线x=-1/2与椭圆的交点也是被x=-1/2平分的话,也可以认为是成立的.） 
所以,不妨设直线L方程为：y=kx+b 
联立椭圆与直线方程有：x^2+(y^2/9)=1,y=kx+b 
===> 9x^2+y^2-9=0,y=kx+b 
===> 9x^2+(kx+b)^2-9=0 
===> 9x^2+k^2x^2+2kbx+b^2-9=0 
===> (k^2+9)x^2+2kbx+(b^2-9)=0…………………………………（3） 
因为直线与椭圆有M、N两个交点,即说明上述一元二次方程有两个相异的实数根,所以： 
△=b^2-4ac=(2kb)^2-4(k^2+9)(b^2-9)＞0 
===> 4k^2b^2-4(k^2b^2-9k^2+9b^2-81)＞0 
===> k^2b^2-k^2b^2+9k^2-9b^2+81＞0 
===> k^2＞b^2-9……………………………………………………（4） 
又,由(3)得到：x1+x2=-2kb/(k^2+9) 
所以,MN的中点横坐标为X=(x1+x2)/2=-kb/(k^2+9) 
已知MN被直线x=-1/2平分,所以MN中点在x=-1/2上 
所以：-kb/(k^2+9)=-1/2 
===> k^2+9=2kb 
===> b=(k^2+9)/2k…………………………………………………（5） 
联立(4)(5)就有：k^2+9＞[(k^2+9)/2k]^2 
===> k^2+9＞(k^2+9)^2/(4k^2) 
===> 4k^2*(k^2+9)＞k^4+18k^2+81 
===> 4k^4+36k^2-k^4-18k^2-81＞0 
===> 3k^4+18k^2-81＞0 
===> k^4+6k^2-27＞0 
===> (k^2+9)(k^2-3)＞0 
===> k^2-3＞0 
所以,k＞√3,或者k＜-√3