作业帮高等数学------:20：根据数列极限的定义证明：(1):lim(3n-1)/(2n+1)=3/2n→∞(2):lim√(n^2+a^2)/n=1n→∞(3) n个 lim0.99999.9=1n→∞21.利用收敛准则证明下列数列有极根,并求其极限值（1）x1=√2,xn+1=√(2xn),n=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:21:28
高等数学------:20：根据数列极限的定义证明：(1):lim(3n-1)/(2n+1)=3/2n→∞(2):lim√(n^2+a^2)/n=1n→∞(3) n个 lim0.99999.9=1n→∞21.利用收敛准则证明下列数列有极根,并求其极限值（1）x1=√2,xn+1=√(2xn),n=1
高等数学------:
20：根据数列极限的定义证明：
(1):lim(3n-1)/(2n+1)=3/2
n→∞
(2):lim√(n^2+a^2)/n=1
n→∞
(3) n个
lim0.99999.9=1
n→∞
21.利用收敛准则证明下列数列有极根,并求其极限值
（1）x1=√2,xn+1=√(2xn),n=1,2,.;
求这四个题的详解（步骤要一目了然）,如果好的还会加分的.后天要交的,在此先谢过.
高等数学------:20：根据数列极限的定义证明：(1):lim(3n-1)/(2n+1)=3/2n→∞(2):lim√(n^2+a^2)/n=1n→∞(3) n个 lim0.99999.9=1n→∞21.利用收敛准则证明下列数列有极根,并求其极限值（1）x1=√2,xn+1=√(2xn),n=1
（1）对任意的ε>0,解不等式
│(3n-1)/(2n+1)-3/2│=│(-5)/(2(2n+1))│≤5/(4n)≤1/n1/ε,取N=[1/ε].
于是,对任意的ε>0,总存在N=[1/ε].当n>N时,有│(3n-1)/(2n+1)-3/2│∞)(3n-1)/(2n+1)=3/2.
（2）对任意的ε>0,解不等式
│√(n²+a²)/n-1│=│(√(n²+a²)-n)/n│=│a²/(n(√(n^2+a^2)+n))│0,总存在N=[│a│/√ε].当n>N时,有│√(n²+a²)/n-1│∞)(√(n²+a²)/n)=1.
（3）对任意的ε>0,解不等式
│0.99999.9-1│=1/10^nlg(1/ε),取N=[lg(1/ε)].
于是,对任意的ε>0,总存在N=[lg(1/ε)].当n>N时,有│0.99999.9-1│∞)(0.99999.9)=1.
（4）∵x1=√2,xn+1=√(2xn),n=1,2,.;
∴由数学归纳法可证(自证) xn0 (∵xnxn.
即数列xn严格单调递增,且有上界.
于是,根据收敛准则数列xn存在极限.设它的极限为x
对xn+1=√(2xn)两端取极限,得x=√(2x) ==>x²=2x ==>x1=2,x2=0(不符合题意,舍去)
故数列xn得极限是2.即lim(n->∞)xn=2.
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