作业帮已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1)若f(4)=2,则f(2006)的值为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:41:42
已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1)若f(4)=2,则f(2006)的值为多少?
已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1)若f(4)=2,则f(2006)的值为多少?
已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1)若f(4)=2,则f(2006)的值为多少?
g(x) = f(x-1)
g(-x) = f(-x-1)
因为 f(x)是偶函数
所以
f(-x-1) = f(x+1)
g(-x) = f(x+1)
g(x)是R上的奇函数
g(-x) = -g(x)
因此
f(x+1) = - f(x-1)
f(x+3) = -f(x+1) = f(x-1)
f(x+4) = f(x)
因此 f(x) 是以4为周期的函数
2006 = 4 * 501 + 2
因此
f(2006) = f(2)
而 f(4) = - f(2) = 2
因此
f(2006) = -2
带入x
g(x)=f(x-1)
代入-x
g(-x)=f(-x-1)
由于g(x)=-g(-x)
f(-x-1)=f(x+1)
f(x-1)=f(x+1)
f周期为2
f(2006)=f(4)=2
那
g(x)=f(x-1)
也就是说f(x）向左移动一个单位即可得到g(x)函数了
f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
那么我们可以假设f（x）是y=sin∏X/2，g(x) 是 y=cos∏X/2
(两个函数的周期为4)
我们知道这样的假设是完全符合题目条件的
那么f（2006）=f（2002）=f（1988）=...=f（6）=f（2）
...
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g(x)=f(x-1)
也就是说f(x）向左移动一个单位即可得到g(x)函数了
f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
那么我们可以假设f（x）是y=sin∏X/2，g(x) 是 y=cos∏X/2
(两个函数的周期为4)
我们知道这样的假设是完全符合题目条件的
那么f（2006）=f（2002）=f（1988）=...=f（6）=f（2）
已知f（4）=2 所以f（2）=-2
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