作业帮已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/3]上是单调函数,求函数y=f（x）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:44:35
已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/3]上是单调函数,求函数y=f（x）
已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/3]上是单调函数,求函数y=f（x）
已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/3]上是单调函数,求函数y=f（x）
已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/3]上是单调函数,求函数y=f（x）
因为f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,所以φ=π/2,此时f(x)=cosωx；
其图像关于点M(3π/4,0)对称,故cos(3ωπ/4)=0,因此3ωπ/4=kπ+π/2；即有3ω/4=k+(1/2)
故ω=(4/3)[k+(1/2)]=4k/3+2/3=(4k+2)/3,k∈z；
在区间[0,π/3]上是单调函数,故可取k=0,此时ω=2/3；f(x)=cos[(2/3)x]；
也可取k=1,此时ω=2,此时f(x)=cos2x；
f(x)为偶函数,则φ=π/2(因为y=cosx为偶数,则取φ为π/2时利用诱导公式可以把正弦函数化为余弦函数)
关于(3π/4,0)对称,即为:当x=3π/4时,函数值为0
cos(3ωπ/4)=0
可以取:ω=(4k+2)/3 (k为整数)
因为[0,π/2]单调,则要求,周期>=π
2π/ω>=π,即ω<=2
取k=0,ω=2/3,f(x)=...
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f(x)为偶函数,则φ=π/2(因为y=cosx为偶数,则取φ为π/2时利用诱导公式可以把正弦函数化为余弦函数)
关于(3π/4,0)对称,即为:当x=3π/4时,函数值为0
cos(3ωπ/4)=0
可以取:ω=(4k+2)/3 (k为整数)
因为[0,π/2]单调,则要求,周期>=π
2π/ω>=π,即ω<=2
取k=0,ω=2/3,f(x)=cos(2x/3)
取k=1,ω=2,f(x)=cos2x
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