y的二次导+y的导+y=e的x次方的解怎么求

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 03:23:05

y的二次导+y的导+y=e的x次方的解怎么求
y的二次导+y的导+y=e的x次方的解怎么求

y的二次导+y的导+y=e的x次方的解怎么求
求微分方程y''+y'+y=e^x的通解
这是一个二阶常系数非齐次线性方程.先求齐次方程y''+y'+y=0的通解.
其特征方程r²+r+1=0的根r₁,₂=(-1±i√3)/2是一对共轭复根,因此其通解为:
y=[e^(-x/2)]{C₁cos[(√3)/2]x+C₂sin[(√3)/2]x}
再用待定系数法求一个特解y*:
设y*=ae^x,于是(y*)'=ae^x;(y*)''=ae^x;代入原式得:
ae^x+ae^x+ae^x=3ae^x=e^x,故3a=1,即a=1/3;
于是得特解y*=(1/3)e^x;
故原方程的通解为y=[e^(-x/2)]{C₁cos[(√3)/2]x+C₂sin[(√3)/2]x}+(1/3)e^x.

y=(1/3)乘以e∧x这种题,就是先估测出y的表达式,然后代入,求出系数即可。因为此题的特征方程无根