作业帮已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）=________.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 07:58:53
已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）=________.
已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）=________.
已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）=________.
1、最简单也是最笨的方法就是直接解x/y/z
由题：x+y=2-z （x+y）²=（2-z）²
x²+y²=14-z²
化简得:2z^3-4z^2-10z+12=0
观察这个式子,很简单的看出来z可以等于1,但是三次方程有三个解,其他两个解待定.
观察已知的三个方程xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,有着高度的对称性,所以上面的三次方程的三个解就是x/y/x的值,当然有6种可能性.
令z=1,带入已知三式,求的x=3 y=-2,解得1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）=-1
注：这个方法有点投机取巧,比较考验人的观察能力啦
2、原理:将代数式 1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y) 变换为用xyz ,x+y+z,x^2+y^2+z^2表示的式子
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4
xy+xz+yz=(4-14)/2=-5
xy+2z=xy+(x+y+z)z=xy+xz+yz+z^2=-5+z^2
又xy=-6/z xy+2z=-6/z+2z
1/(xy+2z)=1/(-5+z^2) =1/(-6z+2z）＝z/(2z^2-6)
所以z(-5+z^2)=2z^2-6 z^3 -2z^2-5z+6=0
z^3-z^2 -z^2-5z+6=z^2(z-1) -(z^2+5z-6)
=z^2(z-1)-(z+6)(z-1) =(z-1)(z^2-z-6)=0
得z1=1 z2=-1 z3=6
将z1=1代入xyz=-6得 xy=-6 代入x+y+z=2 得 x+y=1 x=3 y=-2
x=3 y=-2 z=1 代入x^2+y^2+z^2= 9+4+1=14符合条件
所以将x=3 y=-2 z=1代入原式=-1/4+1/4 -1=-1