已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等实数根若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n](1)求m,n的值(2)求f（x）在（-2,2]上的值域

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等实数根若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n](1)求m,n的值(2)求f（x）在（-2,2]上的值域
已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等实数根
若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n](1)求m,n的值(2)求f（x）在（-2,2]上的值域

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等实数根若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n](1)求m,n的值(2)求f（x）在（-2,2]上的值域
f(x)=x有两个相等实数根
ax²+bx-x=0
b-1=0 b=1
f(x)=ax²+x
f(1+x)=f(1-x)
a(1+x)²+1+x=a(1-x)²+1-x
(2a+1)x=0
a=-1/2
f(x)=-x²/2+x
1
f(m)=-m²/2+m=2m
m=0 m=-2
2
f(x)=-(x+1)²/2+1/2
f(-1)=1/2 是最大值
f(2)=-4
f(-2)=0
值域[-4,1/2]

f(1+x)=f(1-x)
a(1+x)²+b(1+x)=a(1-x)²+b(1-x)
a+2ax+ax²+b+bx=a-2ax+ax²+b-bx
(4a+2b)x=0
所以2a+b=0

又：f(x)=x即ax²+(b-1)x=0有两个相等实数根
所以Δ=(b-1)²=0

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f(1+x)=f(1-x)
a(1+x)²+b(1+x)=a(1-x)²+b(1-x)
a+2ax+ax²+b+bx=a-2ax+ax²+b-bx
(4a+2b)x=0
所以2a+b=0

又：f(x)=x即ax²+(b-1)x=0有两个相等实数根
所以Δ=(b-1)²=0
所以b=1

所以a=-1/2

所以f(x)=-(1/2)x²+x=-(1/2)(x-1)²+1/2

f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n]

情况1：n<1
此时最小值为f(m)=2m，最大值为f(n)=2n
解得m=-2，n=0

情况2：m≤1，n≥1
此时最大值为f(1)=1/2，最小值为f(m)与f(n)中较小的一个
于是2n=1/2，n=1/2，不符合前提

情况3：m>1
此时最小值为f(n)=2m，最大值为f(m)=2n
解得m=-2或m=0，不符合前提

综合情况1、2、3，m=-2，n=0

f(-2)=-4
f(1)=1/2
所以f(x)在(-2,2]上的值域为(-4,1/2]

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