在三角形ABC中,若ab²乘cosA=bc²乘cosB=ca²cosC,证明：此三角形为等边三角形

在三角形ABC中,若ab²乘cosA=bc²乘cosB=ca²cosC,证明：此三角形为等边三角形
在三角形ABC中,若ab²乘cosA=bc²乘cosB=ca²cosC,证明：此三角形为等边三角形

在三角形ABC中,若ab²乘cosA=bc²乘cosB=ca²cosC,证明：此三角形为等边三角形
作高,设BC、CA、AB边上垂足分别为D、E、F.bcosA=AF,同理,于是ab2cosA=BC*CA*AF=2S*AF/sinC(S为三角形ABC的面积）.同理,得三个相似的式子,约去2S,同时用正弦定理,得AF/AB=BD/BC=CE/AC.又由合分比定理,得AF/FB=BD/CD=CE/EA=k.又由塞瓦定理,k的三次方=1,所以k=1,所以BD=CD又由AD垂直于BC,由三角形全等知AB=AC.同理,三角形ABC为正三角形.