已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N*),用数学归纳法证明a4n能被4整除.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 22:26:15

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N*),用数学归纳法证明a4n能被4整除.
已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N*),用数学归纳法证明a4n能被4整除.

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N*),用数学归纳法证明a4n能被4整除.
证明:a3=2a2+a1=5,a4=2a3+a2=12
(1)当n=1时,a4n=a4=12能被4整除.
(2)假设n=k(k∈N*),a4k能被4整除.
那么当n=k+1时,a4(k+1)=a(4k+4)=a(4k+3+1),又an+1=2an+an-1所以a4(k+1) =a(4k+4)=a(4k+3+1)=2a(4k+3)+a(4k+2)
因为a(4k+2)=a(4k+1+1)=2a(4k+1)+a4k
所以a4(k+1)=2a(4k+3)+2a(4k+1)+a4k =2[2a(4k+2)+a(4k+1)]+2a(4k+1)+a4k
=4a(4k+2)+2a(4k+1)+2a(4k+1)+a4k
=4a(4k+2)+4a(4k+1)+a4k
所以n=k+1时也能被4整除
若不明白可继续追问,