作业帮已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2的n次方(n≧2且n∈N)(1)求证数列{an/2的n次方}是等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:22:20
已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2的n次方(n≧2且n∈N)(1)求证数列{an/2的n次方}是等差数列
已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2的n次方(n≧2且n∈N)(1)求证数列{an/2的n次方}
是等差数列
已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2的n次方(n≧2且n∈N)(1)求证数列{an/2的n次方}是等差数列
A1=1 An=2An-1+2的n次方
所以,A2=2*1+2^2=2+2^2
A3=2*(2+2^2)+2^3=2^2+2*2^3
A4=2*(2^2+2*2^3)+2^4=2^3+2*2*2^3+2^4=2^3+3*2^4
A5=2*(2^3+3*2^4)+2^5=2^4+4*2^5
所以,An=2^(n-1)+(n-1)*2^n
所以,数列｛An/2的n次方｝是：
（2^(n-1)+(n-1)*2^n）/2＾n=(1+n-1)/2=n/2
2^n表示2的n次方
两边同时除以2^n
则an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
所以an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1
由等差数列的定义，数列{an/2的n次方}是等差数列
∵a1＝1 ，
a2＝2*1＋2^2＝2＋2^2，
a3＝2*(2＋2^2)＋2^3＝2^2＋2*2^3，
a4＝2*(2^2＋2*2^3)＋2^4＝2^3＋2*2*2^3＋2^4＝2^3＋3*2^4。
∴可设想an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n。
现证明an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n成立：
当n＝1时，a1＝2^（1－1）＋（1－1...
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∵a1＝1 ，
a2＝2*1＋2^2＝2＋2^2，
a3＝2*(2＋2^2)＋2^3＝2^2＋2*2^3，
a4＝2*(2^2＋2*2^3)＋2^4＝2^3＋2*2*2^3＋2^4＝2^3＋3*2^4。
∴可设想an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n。
现证明an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n成立：
当n＝1时，a1＝2^（1－1）＋（1－1）*2^1＝1，
故当n＝1时，an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n成立。
设自然数k≥1，当n＝k－1时，an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n成立，则
a（k－1）＝2^（k－2）＋（k－2）*2^（k－1），
ak＝2a（k－1）＋2^k＝2*［2^（k－2）＋（k－2）*2^（k－1）］＋2^k
＝2^（k－1）＋（k－1）*2^k。
故当n＝k时，an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n也成立。
∴当n∈N时，an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n均成立。
∵（an）／（2^n）＝［2^（n－1）＋（n－1）*2^n］／（2^n）＝n－1／2，
［a（n＋1）］／［2^（n＋1）］－（an）／（2^n）＝（n＋1－1／2）－（n－1／2）＝1。
∴数列｛（an）／（2^n）｝是等差数列。
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