如图……在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点E,F分别在AC和AB上,且DE⊥DF.求证：EF²=AE²+BF²提示：延长ED到O，使ED=OD……不知道这答案怎么说的……求解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 21:08:14

如图……在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点E,F分别在AC和AB上,且DE⊥DF.求证：EF²=AE²+BF²提示：延长ED到O，使ED=OD……不知道这答案怎么说的……求解
如图……在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点E,F分别在AC和AB上,且DE⊥DF.
求证：EF²=AE²+BF²
提示：延长ED到O，使ED=OD……不知道这答案怎么说的……求解

如图……在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点E,F分别在AC和AB上,且DE⊥DF.求证：EF²=AE²+BF²提示：延长ED到O，使ED=OD……不知道这答案怎么说的……求解
连接EF
过点B作BG垂直于BC,BG=BC
连接GF
因为D是AB的中点
所以AD=BD
又因为角ACB=90
所以AC平行BG
所以角A=角GBD
又因为角ADE=角BDG
所以三角形ADE全等于三角形BDC
所以EF=FG
BG=AE
在直角三角形FBG中
FG^2=BF^2+BG^2
所以AE平方+BF平方=EF平方

图呢？

然后连接BO

设DG⊥BC于G,DH⊥AC于H
设AB=c,AC=b,BC=a,GF=x,
则:CD=AD=BD=c/2
DH=BG=CG=a/2,DG=AH=CH=b/2
△DEH~△DFG,EH=DH*FG/DG=a/2*x/(b/2)=ax/b
AE^2+BF^2=(AH-EH)^2+(BG+GF)^2=(b/2-ax/b)^2+(a/2+x)^2=b^2+a^2x^2/b^2+a^2/4+x^2
EF^2=CE^2+CF^2=(CH+EH)^2+(CG-GF)^2=(b/2+ax/b)^2+(a/2-x)^2=b^2+a^2x^2/b^2+a^2/4+x^2

我用QQ截图补的图，你凑合着看。

从B作CA的平行线，并与ED的延长线相交于O。

∵BO//AE

∴∠DBO=∠CAB

又∵AD=BD，∠EDA=∠BDO

∴△BDO≌△ADE

∴BO=AE，ED=DO

∵DE⊥DF

∴EF=FO

∵∠C=90°

∴∠CBO=90°

在直角三角形FBO中

EF²=FO²=BO²+BF²=AE²+BF²

得证

延长ED到O，使ED=OD，如图。

由中垂线定理可得EF=OF。┄┄┄┄┄①

又由OD=ED,AD=BD和对等角相等得△AED≌△BOD，

∴∠A=∠2，AE=BO。┄┄┄┄┄②

又∵∠A+∠1=90°,

∴∠2+∠1=90°,即∠B为直角。

由勾股定理得OF²=BO²+BF²。

由①②得EF²=AE²+BF² 。