设s为非空有下界的数集,S1是S的全体下界所成之集,证明inf S=supS1

设s为非空有下界的数集,S1是S的全体下界所成之集,证明inf S=supS1
设s为非空有下界的数集,S1是S的全体下界所成之集,证明inf S=supS1

设s为非空有下界的数集,S1是S的全体下界所成之集,证明inf S=supS1
证明：设infS=A∈S,则对于任意的X∈S,有X≥A,而A∈S,故A是数集S中最小的数,即A=minS
所以infS=minS
又因为S1为非空有上界的数集,同理可证supS1=maxS1
又由任意小于等于minS的数构成S1,所以maxS1=minS
即可证infS=supS1

首先S1非空，对于任意x∈S，y∈S1，y若sup S1＜infS，则存在sup S1＜a＜infS，所以a为S的下界，但是a不属于S1，矛盾。
所以命题成立