作业帮在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知3（b²+c²）＝3a²+2bc（1）若sinB＝√2cosC,求tanC的大小；（2）若a＝2,△ABC的面积S＝√2/2,且b＞c,求b,c
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 15:01:39
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知3（b²+c²）＝3a²+2bc（1）若sinB＝√2cosC,求tanC的大小；（2）若a＝2,△ABC的面积S＝√2/2,且b＞c,求b,c
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知3（b²+c²）＝3a²+2bc
（1）若sinB＝√2cosC,求tanC的大小；（2）若a＝2,△ABC的面积S＝√2/2,且b＞c,求b,c
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知3（b²+c²）＝3a²+2bc（1）若sinB＝√2cosC,求tanC的大小；（2）若a＝2,△ABC的面积S＝√2/2,且b＞c,求b,c
由题, 3(b²+c²)=3a²+2bc
所以,3(b²+c²-a²)=2bc
由余弦定理可得
cosA=(b²+c²-a²)/2bc=1/3
又,(cosA)²+(sinA)²=1
所以,(sinA)²=1-1/9=8/9
因为,A为三角形内角,sinA>0
所以,sinA=2√2/3
（1）
因为,sinB=√2cosC,且 sinB＝sin(A+C)
所以,sin(A+C)=√2cosC
即, sinAcosC+cosAsinC=√2cosC
即, (2√2/3)×cosC+(1/3)×sinC=√2cosC
即, (1/3)×sinC=(√2/3)×cosC
所以, tanC=sinC/cosC=√2
（2）
因为,S=(1/2)×bcsinA=√2/2
所以, bc×(2√2/3)=√2
解得, bc=3/2
由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA
所以, 4=b²+c²-2×(3/2)×(1/3)
解得, b²+c²=5
所以,
(b+c)²=b²+c²+2bc=8
(b-c)²=b²+c²-2bc=2
因为,b>c>0
所以,
b+c=2√2
b-c=√2
解得,b=3√2/2, c=√2/2
（1）
∵3(b²+c²)=3a²+2bc
∴3(b²+c²-a²)=2bc
∴(b²+c²-a²)/2bc=1/3=cosA（余弦定理）
∵cos²A+sin²A=1
∴sin²A=1-1/9=8/9
∴sinA=2√2...
全部展开
（1）
∵3(b²+c²)=3a²+2bc
∴3(b²+c²-a²)=2bc
∴(b²+c²-a²)/2bc=1/3=cosA（余弦定理）
∵cos²A+sin²A=1
∴sin²A=1-1/9=8/9
∴sinA=2√2/3
（1）sinB=√2cosC
∴sin(A+C)=√2cosC
∴sinAcosC+cosAsinC=√2cosC
∴(2√2/3)cosC+(1/3)sinC=√2cosC
∴(1/3)sinC=(√2/3)cosC
∴tanC=sinC/cosC=√2
（2）S=(1/2)bcsinA=√2/2
∴bc*(2√2/3)=√2
∴bc=3/2 ①
由余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴4=b²+c²-2*(3/2)*(1/3)
∴b²+c²=5②
∴(b+c)²=b²+c²+2bc=8
(b-c)²=b²+c²-2bc=2
∴b+c=2√2，b-c=√2（∵b>c）
∴b=2√2/3, c=√2/2
收起
先根据已知条件算出cosA 再用sinB=sin（A+C)=........=根号2cosC 再算tanC
根据tanC算出sinC 在用面积算出b 最后用条件算c