作业帮已知函数f(x)=alnx+|x-1|(a为常数)(1)当a=2/3时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值;(3)存在x∈[1/2,+∞)使不等式f(x)＜0成立,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 04:11:33
已知函数f(x)=alnx+|x-1|(a为常数)(1)当a=2/3时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值;(3)存在x∈[1/2,+∞)使不等式f(x)＜0成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=alnx+|x-1|(a为常数)(1)当a=2/3时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值;
(3)存在x∈[1/2,+∞)使不等式f(x)＜0成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=alnx+|x-1|(a为常数)(1)当a=2/3时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值;(3)存在x∈[1/2,+∞)使不等式f(x)＜0成立,求实数a的取值范围.
(1)定义域为x>0
当00,解得：0=1)
f'(x)>0解得：x>1
f'(x)0时,a/x-1>0,即a>x,即a>1时,为增函数,最大值为f(1)=0
f(x)
(1)、x>=1时 f'(x)=a/x+1=2/3x+1>0单调增
0
(2)、a<-1时，最小值为aln(-a)-a-1
a>=-1时最小值为0
（3）、a<-1或a>1/2ln2
(1)定义域为x>0
当0
当a=2/3时，（1）f'(x)=2/(3x)-1 （0
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(1)定义域为x>0
当0
当a=2/3时，（1）f'(x)=2/(3x)-1 （0
f'(x)>0解得：x>1
f'(x)<0解得：无解
所以，递增区间：(0,2/3]和[1，∞)
递减区间：(2/3,1)
(2)当a=2/3时，在[1,+∞)是递增的，最小值为x=1处，最小值为0
(3)当 1/2<=x<1时，f(x)=aln(x)+1-x,f'(x)=a/x-1, f(x)<0,即，f(x)max<0
当f'(x)>0时，a/x-1>0,即a>x,即a>1时，为增函数，最大值为f(1)=0
f(x)<0恒成立。（1/2<=x<1)
当f'(x)<0时，a
a>1/(2ln(2)
约为：a>0.723 前提是a<0.5，两者矛盾，无解。
当x>=1时， f(x)=aln(x)+x-1,f'(x)=a/x+1 ,f(x)<0,即，f(x)max<0
f'(x)>0时，最小值为f(1)=0,f(x)<0不成立
f'(x)<0时，a/x+1<0,a<-x
最大值f(1)=0，f(x)<0恒成立(x>=1)
所以，a>1时， x在[1/2,1)区间，f(x)<0成立
a<-x时，x在(1,+∞)区间，f(x)<0成立
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