如图四边形ABCD中∠BAD+∠BCD=180·AD﹑BC的延长线交于点F,DC﹑AB的延长线交于点E,∠E﹑∠F的平分线交于点H.求证：EH⊥FH.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/20 23:57:03

如图四边形ABCD中∠BAD+∠BCD=180·AD﹑BC的延长线交于点F,DC﹑AB的延长线交于点E,∠E﹑∠F的平分线交于点H.求证：EH⊥FH.
如图四边形ABCD中∠BAD+∠BCD=180·AD﹑BC的延长线交于点F,DC﹑AB的延长线交于点E,∠E﹑∠F的
平分线交于点H.求证：EH⊥FH.

如图四边形ABCD中∠BAD+∠BCD=180·AD﹑BC的延长线交于点F,DC﹑AB的延长线交于点E,∠E﹑∠F的平分线交于点H.求证：EH⊥FH.
连接AH延长交BF于P,利用外角易证：
∠FHP=∠AFH+∠FAH
∠EHP=∠AEH+∠EAH
相加：∠EHF=∠AFH+∠AEH+∠A.1）
∠BAD+∠BCD=180
所以：
∠ADE+∠ABC=360-（∠BAD+∠BCD）=180；
∠FAE=∠BCE
△ADE、△ABF中：
∠A+∠AED=180-∠ADE；∠A+∠AFB=180-∠ABF
相加：
∠A+1/2（∠HFC+∠AFB）=90
∠FMH+∠AED+∠HEC=90
∠FMH+∠AED+∠HEC=90
∠FMH+∠HMF=90
所以：
∠FHE=180-（∠FMH+∠HMF）=90
EH⊥FH.

全部展开

连接AH延长交BF于P，利用外角易证：
∠FHP=∠AFH+∠FAH
∠EHP=∠AEH+∠EAH
：∠EHF=∠AFH+∠AEH+∠A.......1）
∠BAD+∠BCD=180
所以：
∠ADE+∠ABC=360-（∠BAD+∠BCD）=180；
∠FAE=∠BCE
△ADE、△ABF中：
∠A+∠AED=180-∠ADE；∠A+∠AFB=180-∠ABF
∠A+1/2（∠HFC+∠AFB）=90
∠FMH+∠AED+∠HEC=90
∠FMH+∠AED+∠HEC=90
∠FMH+∠HMF=90
所以：
∠FHE=90
EH⊥FH.

收起

不会做

延长FH交AB于M,设FH与DC交于O
∵∠BAD+∠BCD=180°
∴D、A、B、C四点共圆
∴∠FDO(∠FDC)=∠FBM(∠FBA)
∵FH(FM)平分∠AFB
∴∠DFO(∠AFM)=∠MFB
∴△FDO∽△AMB
∴∠FOD=∠OME(∠FMB)
∵∠FOD=∠EOM
∴∠OME=∠EOM
∴△MOE是等腰三角形
∵HE平分∠OEM(∠DEA)
∴EH⊥OM(等腰三角形，顶角平分线、底边上的高，中线三线合一）
即EH⊥FH