作业帮已知双曲线x²-y²=2的左右焦点为F1F2过点F2的动直线与双曲线相交于AB两点（1）若动点M满足向量F1M=F1A+F1B+F1O(其中o为坐标原点),求点M的轨迹方程（2）在x轴上是否存在定点c,是向量CA×向量
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 00:30:32
已知双曲线x²-y²=2的左右焦点为F1F2过点F2的动直线与双曲线相交于AB两点（1）若动点M满足向量F1M=F1A+F1B+F1O(其中o为坐标原点),求点M的轨迹方程（2）在x轴上是否存在定点c,是向量CA×向量
已知双曲线x²-y²=2的左右焦点为F1F2过点F2的动直线与双曲线相交于AB两点
（1）若动点M满足向量F1M=F1A+F1B+F1O(其中o为坐标原点),求点M的轨迹方程
（2）在x轴上是否存在定点c,是向量CA×向量CB为常数?若存在,求出c点坐标；若不存在,请说明理由.
已知双曲线x²-y²=2的左右焦点为F1F2过点F2的动直线与双曲线相交于AB两点（1）若动点M满足向量F1M=F1A+F1B+F1O(其中o为坐标原点),求点M的轨迹方程（2）在x轴上是否存在定点c,是向量CA×向量
(1)设M(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的方程为x=my+2,代入双曲线方程：(m^2-1)y^2+4my+2=0
y1+y2=-4m/(m^2-1),y1y2=2/(m^2-1)
x1+x2=m(y1+y2)+4=-4/(m^2-1),x1x2=m^2y1y2+2m(y1+y2)+4=-(2m^2+4)/(m^2-1)
(x,y)=(x1+x2+6,y1+y2)=(-4/(m^2-1)+6,-4m/(m^-1))
x=-4/(m^2-1)+6,y=-4m/(m^2-1),m=y/(x-6),x=-4/{[y/(x-6)]^2-1}+6,
M的轨迹方程为：(x-8)^2-y^2=4
(2)设C(t,0),向量CA=(x1-t,y1),向量CB=(x2-t,y2)
向量CA*向量CB=x1x2-t(x1+x2)+t^2+y1y2=[(t^2-2)m^2-(t^2+4t+2)]/(m^2-1)
若向量CA*向量CB为常数,则t^2-2=t^2+4t+2,t=-1,C(-1,0),向量CA*向量CB=-1