作业帮设F1,F2是双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点,点P在双曲线上若∠F1PF2=120°,求三角形F1PF2的面积求|PF1||PF2|的面积求|PF1||PF2|的最小值。上边写错啦。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 06:17:47
设F1,F2是双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点,点P在双曲线上若∠F1PF2=120°,求三角形F1PF2的面积求|PF1||PF2|的面积求|PF1||PF2|的最小值。上边写错啦。
设F1,F2是双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点,点P在双曲线上
若∠F1PF2=120°,求三角形F1PF2的面积
求|PF1||PF2|的面积
求|PF1||PF2|的最小值。上边写错啦。
设F1,F2是双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点,点P在双曲线上若∠F1PF2=120°,求三角形F1PF2的面积求|PF1||PF2|的面积求|PF1||PF2|的最小值。上边写错啦。
1、
a²=4,b²=1
c²=a²+b²=5
令PF1=m,PF2=n
则|m-n|=2a=4
平方
m²-2mn+n²=16
F1F2=2c=2√5
余弦定理
cos120度=-1/2=(m²+n²-F1F2²)/(2mn)
所以m²+n²-20=-mn
代入m²-2mn+n²=16
-mn+20-2mn=16
mn=4/3
所以面积=1/2mnsin120=√3/3
2、
令PF1=m,PF2=n
则|m-n|=2a=4
平方
m²-2mn+n²=16
m²+n²=16+2mn
当P在顶点时,角F1PF2是平角
cosF1PF2有最小值-1
所以cosF1PF2>=-1
cosF1PF2=(m²+n²-F1F2²)/(2mn)
=(2mn-4)/(2mn)
=1-2/(mn)>=-1
2/(mn)=1
所以mn最小值=1
x^2/4-y^2=1
a^2=4,b^2=1
c^2=a^2+b^2=5,
由余弦定理得：
|F1F2|^2=|F1P|^2+|F2P|^2-2|F1P|*|F2P|cos∠F1PF2
(2c)^2=|F1P|^2+|F2P|^2-2|F1P|*|F2P|cos120
20=|F1P|^2+|F2P|^2+|F1P|*|F2P|.....1)
全部展开
x^2/4-y^2=1
a^2=4,b^2=1
c^2=a^2+b^2=5,
由余弦定理得：
|F1F2|^2=|F1P|^2+|F2P|^2-2|F1P|*|F2P|cos∠F1PF2
(2c)^2=|F1P|^2+|F2P|^2-2|F1P|*|F2P|cos120
20=|F1P|^2+|F2P|^2+|F1P|*|F2P|.....1)
而：||F1P|-|F2P||=2a
(|F1P|-|F2P|)^2=4a^2
|F1P|^2+|F2P|^2-2|F1P|*|F2P|=16.....2)
1)-2)得：3|F1P|*|F2P|=4
|F1P|*|F2P|=4/3
三角形F1PF2的面积=1/2*|F1P|*|F2P|*sin120
=1/2*4/3*√3/2
=√3/3
收起
易知,||PF1|-|PF2||=4.|F1F2|=2√5.由题设及余弦定理得：|PF1|*|PF2|=4/3.====>S=[|PF1|*|PF2|sin120]/2=√3/3.