作业帮如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,（接上）DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.（1）证明：EF等于CF； （2）当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 15:49:29
如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,（接上）DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.（1）证明：EF等于CF； （2）当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,
（接上）DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.（1）证明：EF等于CF； （2）当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,（接上）DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.（1）证明：EF等于CF； （2）当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
（1）
如图,作 DG⊥BC交BC于G
∵ ABCD是直角梯形,AD=AB,AD∥BC
∴ ABGD是正方形
∴ DG=AB=AD,∠ADG=90°
∵ ∠ADE = ∠ADG-∠EDG = 90°-∠EDG
而 ∠GDC = ∠EDC-∠EDG = 90°-∠EDG
∴ ∠ADE =∠GDC
在 △ADE 和 △GDC 中,∠A=∠DGC = 90°,∠ADE =∠GDC,AD=DG
∴ △ADE ≌ △GDC （A,S,A）
∴ DE=DC
∵ DF 是 ∠EDC 的平分线
在 △EDF 和 △CDF 中,∠EDF=∠CDF,DE=DC,DF=DF
∴ △EDF ≌ △CDF （S,A,S）
∴ EF=CF
（2）
设EF=CF=x
∵ tan∠ADE = AE/AD = 1/3
而 AD =AB = 6
∴ AE =2,GC=AE=2
∴ EB =AB-AE = 6-2 =4,BC = BG+GC = 6+2 =8
∴ BF =BC-CF = 8-x
在 直角三角形BEF中,由勾股定理,有 16+(8-x)²=x²
即 16+64-16x+x² =x²
解得 x = 5
所以 EF=5
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（1）证明：因为∠A等于90°，AB=AD=6， ∴作DG⊥BC于点G，可得正方形ABGD，∠ADG=90° 因为DE⊥DC交AB于点E，∴∠ADE=∠CDG=90°-∠EDG 又因为∠A=∠DGC=90° ∴△ADE≅△GDC，∴DE=DC， 因为DE平分∠EDC，DF公共，所以△DEF≅△DCF ∴EF=CF （2）当tan∠ADE=(1/3)时，得AE：AD=1：3，又AD=AB=6 所以AE=2，BE=4，由（1）知CG=AE=2，设EF=x， 则FG=FC-GC=x-2，BF=6-FG=8-x，在Rt△BEF中： x平方=4平方+（8-x）平方 解得x=5，EF长为5.