作业帮高数极限问题：求lim(π/2-arctanx)^(1/lnx) (x趋于正无穷）答案是e^(-1)哦~我查了别人答的都不对....
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 14:48:23
高数极限问题：求lim(π/2-arctanx)^(1/lnx) (x趋于正无穷）答案是e^(-1)哦~我查了别人答的都不对....
高数极限问题：求lim(π/2-arctanx)^(1/lnx) (x趋于正无穷）
答案是e^(-1)哦~我查了别人答的都不对...
.
高数极限问题：求lim(π/2-arctanx)^(1/lnx) (x趋于正无穷）答案是e^(-1)哦~我查了别人答的都不对....
设为A(以下求极限符号省略)
lnA=ln(pi/2-arctanx)/lnx
用L'Hospital:=[1/(pi/2-arctanx)*(-1/(x^2+1))]/(1/x)
=-x/[(pi/2-arctanx)*(x^2+1)]
=-(1/x)/(pi/2-arctanx)
=-(1/x^2)/[1/(1+x^2)]
=-1
先取对数求极限：
lim(x→＋∞) [ln(π/2-arctanx)]/lnx 使用洛必达法则
＝lim(x→＋∞) [1/(π/2-arctanx)×(-1)/(1+x^2)]/(1/x)
＝－lim(x→＋∞) 1/(π/2-arctanx)×x/(1+x^2)
＝－lim(x→＋∞) (1/x)1/(π/2-arctanx)×x^2/(1+x^2)
...
全部展开
先取对数求极限：
lim(x→＋∞) [ln(π/2-arctanx)]/lnx 使用洛必达法则
＝lim(x→＋∞) [1/(π/2-arctanx)×(-1)/(1+x^2)]/(1/x)
＝－lim(x→＋∞) 1/(π/2-arctanx)×x/(1+x^2)
＝－lim(x→＋∞) (1/x)1/(π/2-arctanx)×x^2/(1+x^2)
＝－lim(x→＋∞) (1/x)/(π/2-arctanx) 使用洛必达法则
＝－lim(x→＋∞) (-1/x^2)/(-1/(1+x^2))
＝－lim(x→＋∞) (1+x^2)/(x^2)
＝－1
所以，lim(x→＋∞) (π/2-arctanx)^(1/lnx)＝lim(x→＋∞) e^｛[ln(π/2-arctanx)]/lnx｝＝e^(-1)
收起