求当X趋近于1时,(1-x^2)/sin(πx) 的极限 如何用等价无穷小去做!我将sin(πx) 替换成πx为什么答案不对啊!

求当X趋近于1时,(1-x^2)/sin(πx) 的极限 如何用等价无穷小去做!我将sin(πx) 替换成πx为什么答案不对啊!
求当X趋近于1时,(1-x^2)/sin(πx) 的极限 如何用等价无穷小去做!
我将sin(πx) 替换成πx为什么答案不对啊!

求当X趋近于1时,(1-x^2)/sin(πx) 的极限 如何用等价无穷小去做!我将sin(πx) 替换成πx为什么答案不对啊!
x→1,sin(πx)是无穷小,πx不是无穷小,因此不能替换
但是x→1,sin(πx)=sin(π(1-x))是无穷小,π(1-x)是无穷小,且sin(π(1-x))与 π(1-x)是等价无穷小
替换可得 x→1,lim(1-x^2)/sin(πx)=lim(1-x^2)/sin(π(1-x))= lim(1-x^2)/(π(1-x))=lim(1+x)/π = 2/π

用洛比达法则比较方便
(1-x^2)微分是-2x
sin(πx) 的微分是πcos(πx)
x趋近于1时
-2x=-2，πcos(πx)=-π
因此此题答案是（-2）/（-π）=2/π